fEn 1931, un jeune mathématicien publia un article qui allait secouer sa discipline. Ce jeune homme, c’était Kurt Gödel

Kurt Gödel : La vérité n’existe pas


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1931 : Le séisme qui ébranla la vérité

En 1931, un jeune mathématicien publia un article qui allait secouer sa discipline. Ce jeune homme, c’était Kurt Gödel. Il venait de démontrer l’incomplétude de l’arithmétique. Ce résultat, de prime abord bien abstrait, remit en cause la confiance, jusque-là inébranlée, des mathématiciens, sûrs de leur fait, convaincus qu’ils achèveraient un jour les mathématiques en établissant une liste finie d’axiomes solides, qui ne souffriraient d’aucune contestation et qui permettrait de tout démontrer.

La quête d’Euclide

C’était déjà, dans la Grèce antique, le projet d’Euclide, lorsqu’il énonça, dans son volumineux « Éléments », une série de cinq axiomes, sur lesquels il disait pouvoir s’appuyer pour tout démontrer (en géométrie). Un axiome est une formule de base (deux droites parallèles ne se coupent jamais) , que l’on considère vraie sans démonstration. C’est en quelque sorte le « point de départ » qui servira à démontrer des théorèmes.

Pourtant, le cinquième axiome d’Euclide, connu sous le nom de « Postulat des parallèles » posait déjà problème : « par un point, on ne peut faire passer qu’une droite parallèle à une droite donnée ». Les plus brillants esprits de son siècle, puis des suivants, se cassèrent les dents en cherchant à le démontrer. On tenta par l’absurde : si on supposait que le postulat est faux : « on peut faire passer plusieurs droites distinctes par ce point », on finirait bien par arriver à une contradiction flagrante !

Eh bien Non ! On parvenait juste à construire une géométrie, non-euclidienne, mais parfaitement cohérente (par exemple une géométrie épousant le contour d’une sphère ; une géométrie où les parallèles se coupent !

Finalement, on finit par conclure que le postulat d’Euclide est tout à fait arbitraire, bien qu’il aille, a priori, dans le sens de l’intuition humaine et que l’on n’ait jamais trouvé de contre exemple.

1900 : Hilbert, le premier, ébranle le premier nos certitudes mathématiques.

Il manquait à Euclide et à ses héritiers malheureux, un certain nombre d’étapes. Ce fut David HILBERT qui les franchit le premier, au début du XXème siècle. Il mit en évidence une première faille dans l’un des postulat d’Euclide : il s’intéressa à la construction du triangle équilatérale à l’aide d’un compas et d’une règle. Il faut commencer par tracer un segment de droite, puis deux arcs de cercle, dont les centres sont respectivement les deux extrémités du segment et le rayon, la longueur du segment. Les deux arcs se coupent en un point, c’est le dernier sommet du triangle. Rien de plus intuitif ! Hilbert posa alors la question suivante : comment être sûr que les deux arcs de cercle vont se couper ? En effet, les droites comme les cercles n’ont par définition aucune épaisseur. Comment être sûr que deux objets qui n’ont pas d’épaisseur peuvent se rencontrer pour former un point ? En fait, on ne peut pas en être sûr, même si, de prime abord, cela paraît ridiculement évident (au moins sur le papier) ! Ou alors, il faut poser un axiome (une vérité non-démontrée) de plus qui stipule que ce point existe. Un point c’est tout !

Hilbert venait d’introduire le doute dans l’esprit des mathématiciens qui utilisaient, depuis des siècles, des axiomes non-démontrés et ceci dans toutes les branches des mathématiques et pas seulement en géométrie. Par ailleurs, il annonça la difficulté de la tâche à venir qui consisterait à faire le ménage, c’est-à-dire à identifier tous ces canards boiteux sur lesquels les théories de l’époque étaient fondées.

GÖDEL et la vérité illusoire

Ce fut le point de départ des travaux de Gödel. Toutefois, lorsqu’il franchit la ligne, en 1931, il s’aperçut que le programme d’HILBERT était vain : tout n’était pas démontrable ! Comme sa démonstration était incompréhensible pour le commun des mortels, il proposa de l’illustrer par le célèbre paradoxe du menteur venu de la Grèce antique : supposons qu’une personne dise : « je suis un menteur » Deux choses l’une : soit cette personne ment, soit elle dit la vérité :

  1. Elle ment : Elle dit donc la vérité (car « je suis un menteur » est faux) ;
  2. Elle dit la vérité : Elle ment donc (car « je suis une menteur » est vrai » »

Bref, on ne peut dire si la personne ment ou dit la vérité. La proposition est donc « indécidable ». Ou, en un peu plus obscur, si un système d’axiomes est consistent (c’est-à-dire qu’il ne contient pas de choses contradictoires comme un cercle carré), alors certains de ces axiomes ne peuvent pas être démontrés ; on ne sait pas s’ils sont vrais ou faux, comme dans le cas du postulat des parallèles. Et il faut faire avec !

Le séisme Gödel n’allait finalement pas changé les mathématiques. Il nous a juste indiqué nos limitations, en nous forçant à accepter qu’un certain nombre d’affirmations ne peuvent être prouvées. L’existence de Dieu en fait partie.

Pour tout démontrer dans un système (par exemple dans l’Univers), il faut pouvoir en sortir. Seul celui qui est à l’extérieur du système pourra achever la tâche ultime.

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Joindre la conversation 10 commentaires

  1. […] Le principe d’incertitude de Gödel […]

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  2. […] monde. Le réel lui sera toujours inaccessible (voir sur ce sujet la confirmation mathématiques de Gödel (1931) dans son théorème […]

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  3. […] monde. Le réel lui sera toujours inaccessible (voir sur ce sujet la confirmation mathématiques de Gödel (1931) dans son théorème […]

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  4. […] constater la beauté et l’harmonie du monde ; en aucune manière elle lui donne accès à Dieu. Kurt GÖDEL au XXème siècle démontrera en effet que l’homme ne pourra jamais tout savoir (théorème […]

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  5. […] dans un océan vers un horizon inatteignable. Car les mathématiques ne seront jamais achevés. Kurt Gödel au XXème siècle l’a démontré : il existera toujours des propositions vraies, comme 1 + 1= […]

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  6. […] les mathématiques.  Depuis, on sait que les mathématiques ne seront jamais achevés (théorème d’incomplétude de Gödel). Il a travaillé également sur l’infini et nous a laissé, sur ce sujet, de savoureux […]

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  7. […] indécidables, c’est-à-dire qu’il s’agirait d’un problème insoluble :  Kurt GÖDEL, avec son théorème d’incomplétude, a démontré en effet qu’il existe bel et bien […]

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  8. […] into a bottomless ocean, towards an unattainable horizon. For mathematics will never be completed. Kurt Gödel in the twentieth century has shown: there will always be true propositions, like 1 + 1 = 2, that […]

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