De tout temps, les nombres premiers ont fasciné les hommes. Insaisissables, ils ne respectent rien, aucune logique, aucune prédiction. Indisciplinés, ils ne se laissent enfermer dans aucune formule, échappent depuis l’antiquité aux plus brillants mathématiciens. Ils sont pourtant l’ossature des nombres, le squelette autour duquel toute l’arithmétique peut être construite.

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Les nombres premiers sont aux nombres, ce que les couleurs primaires sont aux couleurs et pourtant il ne peuvent être couchés sur une palette, ranger dans des cases bien identifiées. Il bourdonnent dans l’océan des entiers   leur guise, apparaissant soudain comme un lapin du chapeau sans prévenir, avant de disparaître presque pour l’éternité.

Article de fond : brève histoire des mathématiques

Lorsque l’on regarde la suite des nombres entiers, 1-23-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21.., les nombres premiers semblent apparaître au hasard… Mais est-ce vraiment le cas ? N’y a-t-il pas un ordre caché qui échapperait à la raison humaine ? Lorsque l’on s’aventure vers l’infiniment grand, ils deviennent de plus en plus rares. Pourtant, ils sont en nombre infini ! Comment cela est-il possible ? Pour l’instant, ils gardent leur mystère. Si un Graal mathématique existe, il pourrait prendre la forme de cette formule, celle qui donnerait à coup sûr un nombre premier.

La représentation graphique ci-contre des nombres premiers semble indiquer qu’il existe bien un certain ordre dans le chaos des entiers, symbolisé  par ces curieuses lignes….

Des équipes à travers le monde tente de leur arracher leur secret, se battent à grands renforts de superordinateurs, pour trouver le plus grand : à ce jour, il compte 17 425 170 chiffres ! C’est un nombre de Mersennes.

Les nombres de Fermat

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Pierre de FERMAT

En 1640, Pierre de FERMA, avait pourtant annoncé la découverte Graal mathématique,  sous la forme de son petit théorème : tout nombre de la forme  22n + 1, avec n entier, est premier. Il ajouta un commentaire à son théorème :

« Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n’appréhendois d’être trop long » Pierre de FERMAT

Malheureusement, quelques années plus tard (1732) , EULER montra que c’était tout simplement faux. Il calcula F5 et montra qu’il n’était pas premier.

Les nombres de MERSENNE

Au siècle précédent, un moine mathématicien, Marin Mersenne, avait proposé une autre formule qui aura une bien meilleure postérité : les nombres qui portent aujourd’hui son nom prennent la forme suivante :  2p – 1, avec p premier. Même si cette règle est loin d’être infaillible (M11 = 2047 = 23×89 n’est pas premier), les plus grands nombres premiers que nous calculons aujourd’hui le sont à partir de cette formule qui date du XVIème siècle !

Qu’est ce qu’un nombre premier ?

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EULER

C’est un nombre entier (sans virgule) qui est divisible uniquement par lui-même et par 1. Par exemple, 4 qui est divisible par 2, n’est pas premier. 7 qui n’est divisible que par 7 et par 1 est premier. 5, 11, 13, 17,…  également.

 Rendons hommage au grand mathématicien Euler qui fit avancer la science des nombres premiers en particulier et les mathématiques de manière très générale.

Tout nombre premier s’écrie sous la forme 6×q + 1 ou 6×q-1 (Euclide)

On doit la démonstration à Euclide. Ce dernier prit un nombre entier quelconque n et le divisa par 6. Il obtint un quotient q et un reste qui pouvait aller de 0 à 5.

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Euclide

Par exemple 17/6 = 6 × 2 +5 ou 19/6 = 6 × 3 +1.

Il avait donc six cas possibles :

  • cas n°1 : n = 6×q
  • cas n°2 : n = 6×q+1
  • cas n°3 : n = 6×q+2
  • cas n°4 : n = 6×q+3
  • cas n°5 : n = 6×q+4
  • cas n°6 : n = 6×q+5

Euclide élimina le cas n°1 puisque n n’était à l’évidence pas premier, car n était divisible par 6. De même, il  élimina le cas n°3 et le cas n°5 (n est divisible par 2), le cas n°4 (n est divisible par 3). Donc, si n était premier, il était de la forme du cas n°2 ou du cas n°6.

  • cas n°2 : n = 6×q + 1
  • cas n°6 : n = 6×q+5 = 6×q+6-1 = 6 (q+1) – 1

Tout nombre premier pouvait donc s’écrire sous la forme 6×q+1 ou 6×q-1.

Par exemple, 23 = 6×4-1.

Tout entier naturel (1, 2, 3, 4, 5…) est le produit de nombres (ou facteurs) premiers (théorème fondamental de l’arithmétique systématisé par Gauss)

euclide

Euclide

C’est déjà vrai jusqu’à n=8 :

  • 2 =2 x 1
  • 3 =3 x 1
  • 4 = 2 x 2
  • 5 = 5 x 1
  • 6 = 3 x 2
  • 7 = 7 x 1
  • 8 = 2 x 2 x 2

Propriété 1 : Supposons que c’est vrai jusqu’à un nombre entier n :

  1. n est le produit de nombres premiers ;
  2. tout entier <  n est aussi le produit de nombres premiers.

Ajoutons 1 à ce nombre entier n et examinons l’entier n+1. Deux choses l’une :

  1. n+1 est premier
  2. n+1 est n’est pas premier.
  • Si n+1 est premier : alors n+1 = (n+1) x 1 et l’affaire est close ;
  • Si n+1 n’est pas premier, alors n+1 = p x q, avec p et q < n ;
    • p  < n , donc p est le produit de facteurs premiers ;
    • q < n , donc q est aussi le produit de facteurs premiers.

donc n+1 = p x q est le produit de facteurs premiers.

Conclusion, si c’est vrai pour n, c’est aussi vrai pour n+1, et donc pour n+2, n+3 jusqu’à l’infini, donc pour tout entier.

L’unicité de la décomposition en facteurs premiers

Afficher l'image d'origine

Euclide

Euclide, encore une fois, va nous aider. Supposons qu’un entier A s’écrive de deux manières différentes comme produits de facteurs premiers :

A =  p x q x r  =  s x t x u

  • p divise  s x t x u, le produit de cette division étant q x r.
  • p divise donc soit s, soit t, soit u.
  • Or ces trois nombres sont premiers. Donc p est égal à l’un de ces facteurs. Par exemple p = s
  • Donc on peut simplifier A en simplifiant par p

A =  q x r  =  t x u

  • et on recommence avec q. On montre que q = t et finalement que r = u.

Il y a bien une seule décomposition de A en facteurs premiers.

Infinité des nombres premiers

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Euler

On prend une liste de 3 nombres premiers. Par exemple 2,3 et 5. On les multiplie entre eux. On obtient 2 x 3 x 5 = 30. Ajoute 1 pour obtenir 31. Ce nombre n’est pas divisible par 2, 3 et 5, car il s’écrie  2 x 3 x 5 +1. Or, il est le produit de facteurs premiers (théorème d’Euclide). Il y a donc au moins un facteur premier différents de 2, 3 et 5. En l’occurrence 31, qui s’écrit 31 x 1. On a maintenant un groupe de 4 nombre premiers (2,3,5 et 31). Et on recommence éternellement jusqu’à avoir une liste infinie de nombre premiers.

Une autre preuve a été donnée par EULER via sa formule qui relie les entiers naturels (terme de gauche) aux nombres premiers (terme de droite). Bernoulli a montré que le terme de gauche tendait vers l’infini. Donc celui de droite aussi.

euler

Une infinité mais de moins en moins dense

Plus on monte dans les nombres vertigineux, moins on trouve de nombre premiers :

  • Entre 0 et 100, il y a 25 nombres premiers, soient  25 % ;
  • Entre 0 et 1 000, il y a 168 nombres premiers, soient 16,8 % ;
  • Entre 0 et 1 000 000, il y a 78 498 nombres premiers, soient  7,84 %  ;
  • Entre 0 et 1 000 000 000, il y a 50 847 534 nombres premiers, soient 5,08 %.

Des trous gigantesques

On sait qu’il existe de nombreux nombres premiers jumeaux ; par exemple 11 et 13 ou 17 et 19. Leur différence est égale à 2. Il en existe probablement une infinité. Mais, ce qui est plus étonnant, c’est qu’il peut aussi y avoir entre deux nombres premiers consécutifs des trous dont la taille est infinie !

Prenons un tour de longueur N, aussi grande que l’on veut. On cherche à démontrer qu’il existe deux nombres entiers premiers consécutifs p(n) et p(n+1), tels que p(n+1)-p(n) = N.

Prenons donc N et construisons un autre nombre M de la manière suivante :

Posons M = (N+1) x N x (N1) × (N2)××3×2×1.

M est divisible par tous les entiers qui lui sont inférieurs et notamment par 2.

  1. M+2 est aussi divisible par 2
  2. M+3 est divisible par 3
  3. M+ (N+1) est divisible par N+1

Entre l’entier M +2 et l’entier M + (N+1), il y a un trou de longueur N. Et, dans ce trou, on a vérifié qu’aucun nombre n’est premier.

La densité des nombres premiers – Formulation de GAUSS

Carl_Friedrich_Gauss

GAUSS

La densité de nombres premiers autour de n est environ 1/ ln (n).

Par exemple, autour de n = 1012 , on a en moyenne 1 nombre premier sur 28 ( ln 1012 = 27,63).

 

Quelques autres propriétés qui sont autant de bizarreries car elles reflètent notre ignorance ou plutôt notre incapacité à casser le code :

  • Il n’existe pas de formule algébrique pour représenter un nombre premier ;
  • Il n’y a pas de formule donnant la répartition exacte ;
  • On ne sait pas si les premiers jumeaux (par exemple 7 et 19 ou 21 et 23) sont en quantité infini ;
  • il pourrait exister un espace infini entre deux nombres premiers bien que ces derniers soient en quantité infinie ;
  • ils se raréfient lorsque l’on se dirige vers l’infini, mais sont pourtant en quantité infinie.

Spirale d’ULAMAfficher l'image d'origine


Pour finir, l’étrange spirale d’Ulam, obtenue en écrivant l’ensemble des entiers selon une en spirale et en noircissant les nombres premiers.

Voilà ce que ça donne. Celui qui ne voit pas d’alignements est aveugle ! Il y a comme une sorte d’ordre, de directions manifestes. Non ?

Pour devenir célèbre

Démontrez la conjecture de  Goldbach (1690 ; 1764)

« Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. »

Si vous collez, voici d’autres idées (conjecture à démonter) :

  • Goldbach (modifiée par EULER) : tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut s’écrire comme somme de deux nombres premiers ;
  • Polignac : tout entier naturel pair peut s’écrire comme différence de deux nombres premiers consécutifs et cela d’une infinité de manières ;
  • Nombres premiers jumeaux : il existe une infinité de jumeaux premiers ;
  • Il existe une infinité de nombres premiers de Fermat (22n + 1) ou de Mersenne (2p – 1 avec p premier);
  • Il y a  une infinité de nombres premiers de la forme n² + 1 ;
  • l y a une infinité de nombres premiers factoriels ( n! + 1) ;
  • Legendre : il existe toujours au moins un nombre premier entre n² et (n+1)² ;

Le théorème de BEZOUT

Nombres premiers entre eux.

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Bezout

Si on prend deux entiers a et b, ils ont un plus grand commun diviseur (PGCD) que l’on peut appeler d. C’est-à-dire qu’il divise a et divise b et que c’est le plus grand entier à le faire. Par exemple, 4 est le PGCD de 12 et 28. Alors, il existe deux entiers naturels u et v, tels que

d = a×u + b×v,  c’est l’identité de BEZOUT

Si a et b sont premiers entre eux, alors le PGCD vaut 1. l’identité devient  :

au + bv= 1

réciproquement, s’il existe deux entiers naturels tels que au + bv = 1, alors a et b sont premiers entre eux, c’est le théorème de BEZOUT.

Une petite démonstration (indigeste) de BEZOUT

On prend l’ensemble de tous les entiers positifs de forme a×u + b×v. Cet ensemble contient au moins a (si v = 0) et b (si u =0). Il n’est donc pas vide et contient donc au moins plus petit un entier d0, tel que d0 = au0 + bv0 (1).

On peut diviser a par d0. C’est une division dite « euclidienne ». On obtient un quotient q et un reste r.  q est le plus grand diviseur de a qui s’écrit a = d0q + r .

Le reste (r ≥ 0 et r< d0)

r peut s’écrire aussi : r = d0q -a ou (en reprenant l’équation (1))

  • r = (au0 + bv0 q -a  ou
  • r = a – d0q = a × (1 – u0q) + b × (–v0q) (on reconnait r = a × U + b × V).

Ce reste fait partie de l’ensemble des entiers de la forme au+bv décrit au début. Il est plus petit que d0 (qui était déjà le plus petit), donc il est nul. Donc a = d0q + r  s’écrit a =  d0q. Donc d0 divise a. Or d0 = au0 + bv0 . Donc d0 divise aussi b. Il est donc le PGCD de a et b.

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Joindre la conversation 3 commentaires

  1. […] Euclide énonça également que tout nombre est divisible par un nombre premier ce qui permit au XIXème siècle à Carl Friedrich GAUSS de démontrer le théorème fondamental de l’arithmétique : […]

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  2. […] divisible by a prime number which allowed the nineteenth century Carl Friedrich Gauss to prove the fundamental theorem of arithmetic […]

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  3. […] p is a prime number and if a is an integer not divisible by p , […]

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