carré.png

A Crotone, au sud de l’Italie, au Vème siècle avant notre ère, un débat fit rage entre les partisans et les adversaires de l’irrationalité :  Les frères pythagoriciens, bien plantés derrière leur maître, étaient persuadés que tout dans la nature était nombre entier. Pythagore lui-même l’avait dit : « Tout ici-bas peut être compté, mesuré, rationalisé avec ces nombres parfaits que sont les nombres entiers ou à l’aide d’un ratio entre deux de ces nombres, une faction entière. »

Alors lorsque Hippase de Métaponte, le maître mathématicien buta sur le problème insoluble de la diagonale d’un carré de côté 1, l’émoi fut à son maximum. Il avait beau faire et refaire ses calculs, cet étrange objet était irrationnel, il dépassait la raison ; il ne pouvait l’écrire, le coucher sur le papier sous la forme proposée par le maître. Aucun couple d’entiers mis sous la forme de fraction ne permettait de représenter la mesure de cette diagonale.

Il décida de faire part de ses doutes au maître et demanda audience. Grand maître de l’ordre des mathématiciens, il fut aussitôt reçu et présenta le parchemin sur lequel était couché le détail de ses recherches.

Pythagore fronça les sourcils, gratta l’épaisse tignasse qui lui servait de barbes. Ce diable d’Hippase de Métaponte avait raison. mais cette découverte ne devait pas sortir de la fraternité. Il en allt de sa survie, de son essence. Sa devise n’était-elle pas « tout est nombre » ? Et justement, voici une ligne, la diagonale d’un carré de côté 1, un trait sur le sol que l’on pouvait regarder, toucher, examiner de près sans pouvoir y associer une mesure, un nombre ! On ne pouvait même pas la représenter sous la forme d’un rapport de deux entiers. Elle était tout simplement irrationnelle Comment cela était-il possible ? Il demanda à son disciple de reprendre sa démonstration. Hippasene n se fit pas prier :

 » Si la racine carrée de 2 est rationnelle, alors  elle peut s’écrire sous la forme de fraction de deux entiers p et q : √2 = p/q, ou encore, si o n élève ses deux membres au carré :  p² = 2q².

Donc p est pair, car son carré  « p² » l’est. p peut donc s’écrire sous la forme p = 2 r. On a alors (2r)² = 2q². Ou 4r² = 2q² ou 2r² = q².

Donc q est pair, car son carré  « q² » l’est. q peut donc s’écrire sous la forme q = 2 s. On a alors (2s)² = 2r². Ou 4s² = 2r² ou 2s² = r².

Donc r est pair, etc…

On peut recommencer, dit Hippase de Métaponte, et trouvé toujours des entiers plus petits et pairs. Mais c’est impossible ! Car la suite des nombres entiers pairs inférieurs à un entier donné est forcément finie, elle s’arrête avec 2. Donc tout est faux depuis le début et  √2 ne peut pas s’écrire sous la forme p/q. √2 ne peut donc pas s’écrire du tout ou seulement sous cette forme conventionnelle qu’est √2. √2 est incommensurable ; √2 est bien irrationnel ! »

Je vais réfléchir à tout ça. répondit Maître Pythagore. Mais en attendant, garde tes recherches et n’en parle à personne.

Les mois passèrent. Hippase de Métaponte n’avait aucune nouvelle du grand Maître. Il n’en pouvait plus. Le monde ne pouvait plus vivre sur ce mensonge. Il décida alors de délivrer son secret : » à certains objets matériels, on ne peut associer de mesures. »

Les maîtres mathématiciens de la communauté ne purent laisser ce crime impuni. Ils ligotèrent le traître et l’emmenèrent au large sur un bateau de fortune. Hippase de Métaponte finit au feu des eaux, lesté par un rocher attaché à ses pieds.

Publicités

Joindre la conversation 4 commentaires

  1. […] cette occasion qu’il revient sur la question de √2, laissée en désuétude depuis que les Pythagoriciens ont montré son irrationalité, il y a presque 2000 ans : ces derniers ne supportaient pas qu’une mesure géométrique (en […]

    J'aime

    Réponse
  2. […] est nombre et même nombre entier. Aussi, lorsque l’un de ses disciples découvrit l’irrationalité de √2, qui n’est autre que la mesure de la diagonale d’un carré de côté 1, il le lesta de […]

    J'aime

    Réponse
  3. […] arabes, préférant se disputer sur la divinité du Christ ou  la sainte trinité plutôt que sur l’irrationalité de √2. Aussi, les principales avancées, depuis la fin de l’ère grecque, étaient venues […]

    J'aime

    Réponse
  4. […] in nature was made of numbers and even integers. Also, when one of his disciples discovered the irrationality of √2 , which is none other than the measurement of the diagonal of a square of side 1, he lesta some […]

    J'aime

    Réponse

Laisser un commentaire

Choisissez une méthode de connexion pour poster votre commentaire:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s

CATÉGORIE

Mathématiques

Mots-clefs

,