Mathématiques

Une brève histoire de PI (Π)

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Sargon d’Akkad

Si l’Afrique fut le berceau de l’humanité, la Mésopotamie fut celui de la civilisation. Ce fut là, entre le Tigre et l’Euphrate, qu’apparurent les premières villes, Ur, Sumer, Akkad, la ville du rand Sargon,  et puis les premiers empires, Akkadiens, Sumériens et Babyloniens. Pour gérer de tels espaces, de telles communautés, des outils originaux furent alors inventés : l’écriture, d’abord cunéiforme (en forme de coins), tracée par des scribes sur des tablettes d’argiles, puis les mathématiques, nécessaires à l’administration quotidienne, la gestion des stocks, l’arsenal.

Ces outils firent entrer l’humanité dans l’histoire.

Une histoire de Pi


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La Mésopotamie, berceau de la civilisation

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Tablette d’argile

Sur une tablette d’argile babylonienne, on trouva la première approximation de PI : son auteur, un des premiers mathématicien de l’humanité vivant aux alentours de 2000 avant JC, utilisa pour ses travaux la technique qui sera utilisée plus tard par Archimède.

 

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Les jardins suspendus de Babylone

Il savait que Pi était égal au périmètre d’un cercle divisé par son rayon. ∏=D/R. Et ce, quel que soit la taille du cercle. Il avait conscience d’être devant un nombre magique, transcendant, identique aux quatre coins du monde connu et certainement au-delà ; un nombre qui était là bien avant l’humanité, un nombre tombé du ciel ; un nombre fabriqué par les dieux ; un nombre donné aux hommes pour construire des cercles ; mais un nombre qui lui était inaccessible. hexagone

Car assis au milieu de ses jardins suspendus, notre mathématicien ne savait pas mesurer avec précision le périmètre d’un cercle. Il avait fabriqué des cordes à nœuds, les avaient posées sur de multiples périmètres ; rien n’y faisait. Pi gardait son mystère. Puisque sa valeur exacte lui était cachée, peut-être pourrait-il s’en approcher !  Il traça un hexagone à l’intérieur du cercle, un hexagone dont les arrêtes suivaient au mieux ce périmètre. Il multiplia le côté de l’hexagone par 6, divisa par le diamètre et obtint ainsi la plus vieille valeur approchée de Pi connue : ∏ = 3.125.

Une brève histoire de PI (Π)

L’Égypte des pyramides

pyramide3De nouveaux empires virent le jour, au gré des vents, autour de l’Indus, du Nil, profitant des limons fertiles déposés par les sautes d’humeur des fleuves capricieux.

chiffresLes Indiens inventèrent le zéro et les système de notation des chiffres que l’on utilise encore aujourd’hui. Ce fut en Égypte que le système décimal fut inventé, ainsi que les signes symbolisant l’addition et la soustraction. Les Égyptiens, grands bâtisseurs, avaient un besoin vital de développer l’art de la géométrie.

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Papyrus de Rhind

Vers 1600 avant JC, le scribe AHMES décida de rassembler dans un document les savoirs mathématiques de ses ancêtres. Il coucha sur un papyrus une série de problèmes d’arithmétique, étudiés par ses pairs 400 ans plus tôt. Bien entendu, la question de Pi, l’indomptable constante, en faisait partie. Les siècles défilaient, les dynasties mouraient, disparaissent sous les sables ; seul le mystère de Pi semblait immortel, se transmettant de générations en générations, traversant les déserts, passant d’un empire à l’autre.

Dans son problème n°48, il proposa de prendre les 8/9 du diamètre d’un cercle et d’en faire un carré.  Ce carré et le cercle auront, d’après lui, alors la même surface. La surface du cercle est de égale à Pi × R² ou ∏ (D/2)², soit ∏ D²/4. Le carré aura comme surface (8/9D)², soit (8/9)²×D². Si on retient l’hypothèse du scribe, on aura alors ∏ D²/4 = (8/9)²×D². On peut simplifier (en divisant par D²). Et on obtient ∏ /4 = (8/9)²× ou ∏  =  4  ×(8/9)²  ou

∏  =  3.1604.

Une brève histoire de PI (Π)

La Grèce et la quadrature du cercle

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Thalès

Mais ce fut en Grèce, vers 500 avant JC, que les premières méthodes mathématiques rigoureuses virent le jour. Pour la première fois, on ne se souciait plus seulement du résultat mais aussi de la manière dont on l’avait obtenu ; il fallait en effet convaincre l’agora parfois incrédule. Et quoi de mieux qu’une bonne démonstration enrobée d’une savante rhétorique ? Thalès, lui-aussi en faisant un détour par les pyramides, posa les bases de son fameux théorème.

Afficher l'image d'origine
Quadrature du cercle

Ce fut à Athènes que l’on énonça, pour la première, fois le problème de la quadrature du cercle, qui est une autre façon d’aborder la question de Pi : comment construire un carré dont la surface serait égale à celle d’un cercle donné, par exemple de rayon 1 ? Ou, pour poser la question autrement, quel carré peut avoir une surface de Π ? Ou encore peut-on extraire la racine de ∏ ?

 Eudoxe de Cnide, vers 400 avant JC  s’y essaya. Il était né dans la partie orientale de la Grèce et fut élevé par la caste secrète des pythagoriciens, qui jurait que tout dans la nature était fait de nombres entiers. Afficher l'image d'origineEudoxe de Cnide proposa de s’y prendre autrement : si on partait d’un polygone, par exemple un triangle ? Il savait qu’un polygone avait une surface dont on pouvait extraire la racine. Il traça donc un polygone à l’intérieur d’un cercle : son fameux triangle. Puis, il augmenta le nombre de côtés. Il traça un carré, puis un pentagone (5 côtés), un hexagone (6)… Pourquoi s’arrêter ?  Pour Eudoxe de Cnide, on pouvait, théoriquement, augmenter le nombre de côté jusqu’à l’infini et ainsi recouvrir exactement le  le cercle. Ce Polygone infini avait bien une surface dont on pouvait extraire la racine. CQFD. Oui mais non ! La propriété du polygone n’est plus valable lorsque celui-ci à une infinité de côté ! Rendez-vous donc dans plusieurs siècles.

archimèdeCe fut Archimède qui eut l’idée de faire sortir le polygone du cercle. Plus précisément, il inscrivit un polygone à l’intérieur d’un cercle de rayon 1 et un second à l’extérieur ce qui permit d’encadrer Pi. Archimède était un furieux calculateur, car il proposa un calcul avec un polygone de 96 côtés ! Il donna une bonne approximation de ∏. Il obtient

3 + 10/71 <  ∏  <  3+ 10/70

carréLes Pythagoriciens découvrirent alors une chose stupéfiante : il existerait dans la nature des objets non-calculables, non-mesurables, qui dépasseraient l’entendement, la raison ; des objets incommensurables, dont la longueur ne pouvait être écrite ;  ils les appelèrent les irrationnels. Ce fut le calcul de la diagonale d’un carré de côté 1 qui mit le feu aux poudres. D’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse du triangle rectangle (qui est aussi la diagonale du carré) est égale la somme des deux autres côtés, soit  1+ 1 = 2. La longueur de l’hypoténuse vaut donc √2. Il fut impossible aux pythagoriciens d’écrire la valeur exacte de cette racine. Impossible, par exemple de l’écrire sous la forme d’un quotient du type 1/2 ou 3/4,.., comme on le ferait pour 0.5 = 1/2 ou 0.75 = 3/4. Cette découverte fut passée sous silence,  car elle mettait en cause l’essence de la caste des pythagoriciens. Tout n’était finalement pas fait de nombres ! Son découvreur fut jeté à le mer lesté de quelques kilos de rochers.

Mais la rumeur se rependit comme une traînée de poudre : √2 est bien constituée d’une suite infinie de décimales, sans logique, sans motif apparent, comme jetée au hasard  :

√2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688…

Nos pythagoriciens pressentaient que Pi pourrait bien être l’un de ces nombres irrationnels, un nombre sorti du coffre des dieux, inaccessible à l’esprit humain. Il serait  donc vain de vouloir calculer.

Une brève histoire de PI (Π)

Une preuve que la Bible est fausse

Dans l’Ancien Testament (Les Rois), se trouve un passage célèbre qui nous propose une approximation de PI :

 » Il fit aussi une mer de fonte, de dix coudées d’un bord à l’autre, qui était toute ronde; elle avait cinq coudées de haut, et elle était environnée tout à l’entoure d’un cordon de trente coudées.  » Ancien testament . Les Rois. 5.23.

Le chaudron, dont il est question dans ce texte, fait 30 coudées de périmètre et 10 coudées de diamètre, ce qui nous donne un rapport de 30/10 soit 3. L’approximation de ∏ est donc très grossière. Deux choses l’une. Soit les mathématiciens sont nuls, soit la Bible raconte des sornettes…

Une brève histoire de PI (Π)

Les Romains et le néant mathématique

Les Romains furent surtout grands conquérants, car leur système de notation des nombres ne fut pas leur meilleure invention. Le recours aux lettres, LXIIV par exemple, ne facilite pas la discussion lorsque l’on essaie de faire du calcul. L’importation du système décimale, des chiffres indiens puis  arabes et du zéro furent autant de planches de salut sur lesquelles les futurs mathématiciens allaient s’accrocher.

Une brève histoire de PI (Π)

L’Italie et le nombre d’or

Ce fut donc 1000 ans plus tard que des progrès notables furent enregistrés. Fibonacci est surtout connu pour sa fameuse suite (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) qui donne le nombre d’or  Φ à l’origine des spirales magiques, comme celle-ici proposée par vos éditions.

Le lien entre Φ et Π fut établi et il donna la valeur approchée de 3,1418. Puis les progrès s’enchaînèrent, même si on utilisait toujours la bonne vielle méthode d’Archimède. Les décimales s’ajoutèrent aux décimales sans que l’on puisse voir la fin du fichu nombre Pi. Von Ceulen, en Allemagne, atteint les 35 décimales en 1621.

On prit alors conscience de la limite de la méthode du grand savant Grec. Elle était longue et fastidieuse. Pour mieux connaître PI, il fallait aller voir du côté de l’infini et développer, en conséquence, de nouveaux outils de calculs qui permettraient d’explorer l’au-delà.

Un brève histoire de PI (Π)

L’Angleterre e le calcul différentiel

Pour construire la mécanique qui porte aujourd’hui son nom, Newton, au XVIIème siècle, eut besoin de connaitre la vitesse d’un objet à chaque instant de sa trajectoire. En effet, les boulets de canon étaient chers et il fallait viser juste : les militaires s’approchèrent donc des mathématiciens.

La vitesse du boulet était maximum à la sortie du fût, passait par un minimum à sa hauteur maximale, puis retombait en reprenant de la vitesse.

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Trajectoire d’un bouler de canon

Pour calculer cette vitesse, il fallait connaitre à chaque intervalle de temps (une fraction de seconde) le petit déplacement effectué par le boulet de canon. La vitesse du boulet V était alors le rapport entre :

  • ce petit déplacement (noté dx, qui figurait la petite distance parcourue) ;
  • et cette fraction de seconde (notée dt qui figurait l’instant).

V = dx/dt.

différentiel

Grâce à ce nouvel outil, il proposa de nouvelles formules pour calculer l’indiscipliné Pi.

Le second pas fut effectué par Wallis (1616-1703). Il commença à utiliser les suites infinies convergentes. Un mot barbare pour signifier simplement une suite de nombre que l’on additionne. Si on poussait le calcul assez loin, on finirait bien par se diriger vers un résultat de plus en plus proche de Pi..

Euler, le plus grand de tous, mathématicien suisse majeur à qui l’on doit la plus belle formule mathématique de tous les temps,  proposa pour ∏ la formule suivante

Π²/6 = 1/1 + 1/2² + 1/3² +1/4²+….

Pour les courageux, il suffit d’ajouter des termes à la suite pour obtenir une valeur de Pi de plus en plus précise. D’autres séries virent le jour, plus adaptées, convergent plus rapidement vers la valeur recherchée. Carl Friedrich GAUSS donna par exemple :

∏/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9…

Au XVIIème siècle Abraham Sharp (1651-1742) fit le calcul de 70 décimales. La course continua et on obtint 110 décimales 20 ans plus tard.

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La France et la transformée de Fourrier

Fourrier, encore 50 plus tard, développa les transformées qui portent encore son nom et qui s’expriment de la façon suivante

fourrier

Une fonction périodique pouvait donc prendre la forme d’une série. Ce fut avec cette formule que les décimales virent s’ajouter (bien inutilement car une telle précision ne sert à rien).

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Irrationalité de Pi

Mais une question restait en suspend depuis nos amis grecs : Pouvait-on écrire ∏ = p/q ? Par exemple Pi = 22/7 ? Ou 355/113 ? En d’autres termes, PI était-il rationnel ? Force était de constater que la question n’était toujours pas traitée. Le XVIIème siècle, décidément riche en mathématiques, apporta la réponse avec les travaux de Lambert. On ne développera pas la démonstration ici qui tiendrait trop de place (et serait incompréhensible). On admettra que Lambert avait vu juste. On savait maintenant que Pi était constitué d’une farandole de décimales infinie, sans motif particulier, comme si les chiffres étaient jetés au hasard.

Transcendance de Pi

Un nombre est transcendant s’il n’est pas la solution d’un polynôme. Par exemple, 1 n’est pas transcendant, car 1 est la solution du polynôme: x-1 = 0. De même, √2 n’est pas transcendant, car √2 est la solution de : x²-2=0. Pi est-il solution d’un polynôme ? Il fallut attendre le XIXème siècle pour obtenir la réponse avec les travaux de Lindemann.

La quadrature du cercle

Si on prend un cercle de rayon R, sa surface est Π × R², comme chacun sait. Si on prend R = 1 (en mètre), alors sa surface est Π (en m²). Si la quadrature du cercle était possible, on pourrait trouver un carré dont la surface serait de Π (en m²). Son côté mesurerait donc a = √Π  ou a² = Π. Or Lindemann a montré, entre autres, que Π ne pouvait pas être la solution d’un tel polynôme. La quadrature du cercle était donc impossible.

Un original autodidacte Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)

ramanujanspirformel.pngUn indien original, complètement autodidacte, établit cette formule qui donnait une bonne idée de Pi. Avec l’aide d’ordinateurs, sa formule permit de dépasser le  million de décimales (1973), puis en 1997 la mille-milliardième.

Bon, nous arrêterons là, tout simplement parce que cette course effrénée au record ne sert à rien car, comme on l’a déjà dit, une dizaine de décimale suffit pour tous nos besoins et une trentaine pour mesurer le périmètre de l’univers avec une précision diabolique. N’empêche, des équipes à travers le monde travaillent encore et toujours pour allonger le défilé des décimales, un défilé dont on rappelle qu’il n’a pas de fin.

 


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