galaxie

Galaxie et nombre d’or

φ est le nombre d’or. Et il a bien mérité son nom. On le trouve partout, dans le règne animal, végétal, la structure des galaxies spirales ou des dépressions atmosphériques, la courbe d’une fougère, la coquille de l’escargot, les cristaux, le corps humain… A croire que Dieu en a abusé lorsqu’il a dessiné le monde. Ce fut sans doute pour cette raison qu’au moyen-âge un moine franciscain, Lucia  Pacioli, l’a qualifié de divin !

 Pourquoi est-il le nombre d’or ? Pourquoi depuis l’antiquité a-t-il intrigué les plus grands mathématiciens ? Les lus grands noms, Euclide, Euler, Gauss l’ont étudié, tenté de lui arracher son secret.

pyramide.png

Nombre d’or et pyramide

Il donne la manière la plus harmonieuse de couper un segment de droite en deux. A priori, on pourrait couper ce segment en son milieu. Ce serait à la fois logique et facile. Mais les architectes, les peintres,  les bâtisseurs des pyramides (2600 av JC), ceux du le temple de Salomon, le sculpteur Phidias (à qui l’on doit son symbole φ) lorsqu’il façonna le Parthénon, Léonard de Vinci lorsqu’il peint la Joconde et bien d’autres en ont décidé autrement.

Comme souvent tout a commencé avec Euclide, au IIIème siècle avant Jésus-Christ. Il donna dans le livre VI de sa bible de l’arithmétique, Les Éléments, une définition de ce que l’on appela depuis la divine proportion :

 

 » Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. » Euclide, Éléments , livre VI

Pour atteindre la perfection, il faut donc que certaines proportions soient respectées : prenons un segment de longueur L que l’on coupe en deux. On obtient deux segments de droite A et B. On voit tout de suite que B = L-A.

divine.png

Divine proportion

La divine proportion veut que

  • L/A = A/B  (d’après Euclide). Si on remplace B par L-A, on obtient :
  • L/A = A/(L-A) ou
  • L × (L-A) = A² et finalement
  • L² – L×A – A² = 0. Si on divise par A², on obtient
  • L²/A² –  L/A – 1 = 0 et si on pose φ = L/A (la proportion entre L et A), on a finalement :
  • φ² – φ -1 = 0

On est face à une équation du second degré (résolue en fin d’article). Elle donne la valeur de φ = 1/2 (1 + √ 5)φ est le nombre d’or

Il est égal à 1,6180339887… Mais il a d’étranges propriétés :

  • φ = 1+1/φ
  • φ = 1+ φ²
  • φ² = 1/φ
  • et plein d’autres choses.

Il est aussi irrationnel (voir la démonstration en fin d’article), c’est-à-dire qu’il ne peut pas se mettre sous la forme d’un rapport de deux entiers a/b.

Et on le trouve partout dans la nature… La suite de Fibonacci

Fibonacci2.jpg
Fibonacci

Fibonacci, un des premiers mathématiciens occidentaux, est à l’origine d’une suite de nombres entiers qui porte toujours son nom.  Cette suite est construite de la manière suivante : on part de 0, 1. Le nombre suivant prend la valeur de la somme des deux précédents, soient 0 + 1 = 1. La suite comprend maintenant 0, 1 et 1. On recommence, le 4ème nombre est la somme des deux précédents, soit : 1 + 1 = 2 ; le 5ème, 2+1 =3 ; le 6ème, 3 + 2 = 5 etc ;

La suite devient 0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89, etc…

Si l’on étudie le rapport de deux nombres successifs : 13/8, puis 21/13, puis 34/21… On se rend compte que l’on tend vers une valeur précise : le nombre d’or !

Imagions maintenant que l’on construise des carrés successifs dont la longueur des côtés  prend les valeurs de la suite de Fibonacci, et que l’on trace une spirale qui épouse ces carrés. On obtient le schéma ci-dessous :

fib2

spirale de Fibonacci

Cette spirale magique est partout présente autour de nous : là où on ne l’attend pas, dans les choux fleurs, les tournesols, les galaxies…

Dieu est bien mathématicien…

Il n’existe aucun couple d’entiers p et q tels que φ = p/q. φ est donc irrationnel.

Pour montrer qu’il est irrationnel, on raisonne bien entendu par l’absurde.

Hypothèse : On suppose que le nombre d’or φ est rationnel ; on peut donc trouver deux entiers premiers entre-eux, tels que φ = a/b.

Introduisons un troisième entier c, tel que  c = 2a-b. Cherchons un diviseur q commun à c et à b.

  • q divise c. Il divise donc 2a-b.
  • q divise b. Il doit donc aussi diviser 2a. Puisque a et b sont premiers entre eux, le seul q capable de diviser 2a et b est 1 ou 2.

Les seuls diviseurs communs de c et de b sont donc 1 et 2

φ = (√5+1)/2 = a/b. On peut alors écrire

  • ou √5 = (2a-b)/b = c/b
  • ou 5b²=c²

On remarque alors que c² est divisible par 5, donc c aussi.  Il peut s’écrire c = 5d.On a alors:

  • 5b²=(5d)² = 25 d²
  • ou b²=5 d²

On remarque alors que b² est un multiple de 5, donc b aussi.

b et c sont donc divisibles par 5, ce qui est contraire à notre hypothèse en rouge ci-avant. Donc  φ ne peut pas s’écrire sous la forme a/b. Il est donc irrationnel.


 

Résolution de l’équation du second degré qui donne le nombre d’or

  • φ² – φ – 1 = 0
  • Δ = b²-4ac
  • Δ = (-1)² – 4(1)(-1)
  • Δ = 5

Δ > 0, on a donc 2 racines qui sont :

  • x1 = (-b- √Δ) / 2a    et     x2 = (-b+√Δ) / 2a
    x1 = (1-√5) / 2               x2 = (1+√5) / 2

X2 est la solution positive : c’est le nombre d’or.


Retrouvons la suite de Fibonacci

On a vu que φ² = φ + 1

  • φ3 = φ² x φ
  • = (φ+1) φ
  • = φ² + φ
  • = φ + 1 + φ
  • = 2φ + 1

De la même manière on trouve

  • φ3 = 2 φ + 1
  • φ4 = 3φ + 2
  • φ5 = 5φ + 3

Donc

  • φ5 = φ4 + φ3

ou si on généralise

  • φn = φ(n-1) + φ (n-2)
  • c’est-à-dire Un = Un-1 + Un-2

qui est la suite de Fibonacci 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; 610 ; 987 ; 1 597 ; 2 597 ; 2 584 ; 4 181 ; 6 765 ; etc

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Joindre la conversation 13 commentaires

  1. […] Il découvrit que le rapport entre deux membres successifs de sa suite convergeait vers une valeur particulière : le nombre d’or Ψ. […]

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  2. […] masterpiece of precision demonstrates advanced knowledge of geometry: they knew very probably the golden number […]

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