Il a fallu à l’occident plus d’un millénaire pour accepter le zéro, un second pour envisager les nombres négatifs. Encore un millénaire fut nécessaire pour ouvrir la porte au nombre imaginaire. L’explication de cette inertie est à chercher du côté de la théologique.

Article de fond : brève histoire des mathématiques

Histoire des nombres imaginaires

Pourtant, dès le VIIème siècle, en Inde, les nombres négatifs étaient monnaie courante. Les mathématiques étant surtout utilisés par les comptables, les nombres négatifs signifiaient tout simplement une dette. Le zéro indiquait un stock épuisé vente – stock = 0.

Mais laissons la parole à Brahma Sphuta Siddhanta qui en 628 écrivit

– Zéro soustrait d’une dette est une dette.
– Zéro soustrait d’un bien est un bien.
– Zéro soustrait de zéro est zéro.
– Une dette soustraite de zéro est un bien.
– Un bien soustrait de zéro est une dette.
Brahma Sphuta Siddhanta

Brève histoire des nombres imaginaires (dits complexes)

La peur du néant

Les mathématiques occidentales sont nés en Grèce, avec Thalès, Pythagore Euclide, Diophante et Archimède. Ils étaient utilisés comme outil, notamment pour le commerce ou l’architecture.

Ils étaient essentiellement géométrique. Un nombre était associé à une longueur, une surface ou un volume. Cette vision du monde se heurtait alors à un écueil : comment dessiner un carré de surface négative ? Comment tracer un cercle dont le rayon était nul ? De même, les Grecs savaient qu’un nombre élevé au carré représentait une surface ; élevé au cube, il était homogène à un volume ; mais au-delà ? Que pouvait représenter un nombre élevé à la puissance 4 ?

Pour Pythagore, il s’agissait d’un non-sens. Le zéro, comme les nombres négatifs n’existant pas dans la nature, ils devaient être rejetés. A tel point que la découverte, par un des membres de sa secte des Pythagoriciens, de l’irrationalité de √2 conduisit le malheureux au fond de la mer Egée.

Cette maladie de l’esprit contamina l’Europe chrétienne enfermée dans la logique Aristotélicienne. La terre était plate et c’était très bien comme ça. Les mathématiques en général furent étouffés par l’église et aucun progrès notable n’intervint en occident pendant mille ans. Le zéro fut associé au diable ! Descartes qualifia les nombres négatifs “d”absurdes”.

Brève histoire des nombres imaginaires (dits complexes)

Les lumières italiennes

Il fallu donc attendre la renaissance italienne pour que le voile se levât enfin. Fibonacci, au XIIème siécle, imposa le zéro après un voyage en Afrique-du-nord où il avait suivi son père commerçant. Il en ramena aussi la notation arabo-indienne des chiffres, bien plus pratique que les chiffres romains pur effectuer des opérations.

La première tentation imaginaire

Le nombre imaginaire (et les nombres complexes) sont à la multiplication ce que les nombres négatifs sont à l’addition. Un non-sens intellectuel, mais bien utile pour les calculs. Au XVIème siècle, au cœur de la Péninsule italienne, la compétition faisait alors rage pour la résolution des équations algébriques. Depuis les Grecs, et notamment Diophante d’Alexandie, les équations du second degré n’avaient presque plus de mystère. “Presque”, car on s’était vite rendu compte que certaines n’avaient pas de solution comme : x²+x+1=0.

Ce fut la recherche la résolution des équations du troisième degré qui allait mettre en scène les nombres imaginaires.

Giordano Cardano travaillait sur des questions financières, lorsqu’il s’attela à la tâche suivante : résoudre l’équation

x ³ = 15 x + 4 – équation (1)

Il s’aperçut très vite que x = 4 était une solution évidente. Il tordit l’équation, procéda à des changements de variables pour finalement réussir à supprimer la puissance 3 et retomber sur une équation du second degré : X²-4X+125 = 0 – équation (2) Résoudre l’équation (2), c’était résoudre l’équation (1). Or cette équation n’admettait pas de solution, son discriminant Δ étant négatif ! En effet, un discriminant Δ négatif nécessitait l’extraction de la racine carré d’un nombre négatif ce qui n’était pas possible : poser par exemple x² = -2, c’était chercher un nombre qui élevé au carré donnerait -2. Or tout nombre (bien)élevé au carré se devait être positif. Une impasse dans laquelle, Cardano s’enferma. Quelques années plus tard, un autre Italien, Raphaël Bombelli (connu aussi pour la décomposition en fraction continue de √2) décida de franchir l’obstacle. L’équation de Cardano n’avait pas de solution dans le monde réel ! Eh bien ! imaginons un monde imaginaire dans lequel elle aurait une solution. Dans ce monde imaginaire, l’équation i²=-1 aurait un sens. Mais laissons parler Leibniz sur ce sujet « L’esprit divin s’est manifesté de façon sublime dans cette merveille de l’analyse, ce prodige d’un monde idéal, cet intermédiaire entre l’être et le non-être, que nous appelons la racine imaginaire de l’unité négative. » Leibniz
Bombelli avança donc dans cette direction, sans se poser plus de questions sur l’expression √-121 = √(-1 x 11 x 11), qu’il écrivit 11√-1. En utilisant les résultats de Giordano Cardano, il obtint:

x = ³√(2+√-121) + ³√(2-√-121), ou

x = ³√(2+11√-1) + ³√(2-11√-1)

or :

³√(2+11√-1) = 2 + √-1
³√(2-11√-1) = 2 – √-1

Il remarqua en effet, en faisant l’opération inverse, que :

(2+√-1)³ = 8 + 3×4× √-1 + 3×2×(√-1)² + (√-1)³
(2+√-1)³ = 8 + 12× √-1 – 6 – √-1
(2+√-1)³ = 2 + 11 √-1

De même

(2-√-1)³ = 2 – 11 √-1

donc, il trouva finalement :

x = 2 + √-1 + 2 – √-1 = 4

CQFD. Récompensé par son audace, il retrouva le résultat. Le court passage par le monde imaginaire lui avait ouvert la porte de la solution dans le monde réel. Ce fut Descartes, un siècle plus tard, qui qualifia ces nombres d’un genre nouveau “d’imaginaires” et, comme déjà précisé, Euler qui popularisa l’utilisation du symbole i (comme imaginaire ou impossible) en posant i = √-1. Pour résoudre l’équation

x² = = -25, on pouvait dorénavant écrire

x = 5i

Cette invention allait révolutionner les mathématiques et fut l’occasion pour Euler de trouver une identité aujourd’hui reconnue comme la plus belle formule des mathématiques :