geocentrisme

Géocentrisme

1573. On sortait à peine du moyen-âge. Depuis un millénaire, l’église chrétienne avait redoublé d’efforts pour étouffer dans l’œuf le moindre progrès scientifique, consciente peut-être qu’ils pourraient mettre en évidence les mensonges qu’elle déversait sans vergogne sur la population, comme la platitude de la terre ou le géocentrisme. L’étouffoir fut également posé sur les mathématiques.

Racine de 2 l’équation de Bombelli


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Aussi, les seuls progrès notables étaient-ils venus des mathématiciens indiens qui, via Fibonacci, au XIIème siècle, avaient importé en Europe le zéro, le nombres négatifs (auxquels les Grecs étaient allergiques) et système hexadécimal.

Article de fond : brève histoire des mathématiques.

Seule la théologie connut son heure de gloire. On s’écharpait sur la Trinité, la virginité de la Vierge, la divinité du Christ. Pendant ce temps, les mathématiques étaient au point mort. En 1572, on savait pourtant résoudre les équations du second degré (à partir des travaux du mathématicien grec Diophante), mais on buttait encore sur les degrés supérieurs, même si Scipion del FERRO, encore un Italien, quelques années plus tôt, avait travaillé sur des formes simples.

Pourtant quelques lueurs scintillaient encore. Elles venaient d’Italie. Raphaël Bombelli, fils d’un commerçant de Bologne venait d’obtenir son diplôme d’ingénieur. carré.jpgDepuis 1560, il s’intéressait de près à l’algèbre. Et en 1572, il publia son Algebra.  Ce fut à cette occasion qu’il revint sur la question de √2, laissée en désuétude depuis que les Pythagoriciens ont montré son irrationalité, il y avait presque 2000 ans : ces derniers ne supportaient pas qu’une mesure géométrique (en l’occurrence la diagonale d’un carré de côté 1) ne fut pas concevable, « irrationnelle », qui dépassait la raison ; c’est-à-dire qu’elle ne pouvait pas s’exprimer sous la forme d’un rapport de deux entiers p/q.

Racine de 2 : l’équation de Bombelli

L’invention des fractions continues

Bombelli savait que √2, qui était la diagonale d’un carré de côté 1, était plus grand que 1 mais inférieur à 2.  Il pose donc

√2 = 1 + 1/y  : équation (1)

ou y était une inconnue positive plus grande que 1. Il effectuait ensuite quelques transformations facile :

  • √2 = 1 + 1/y
  • √2 -1 = 1/y
  • y = 1/ (√2-1) ou en multipliant en haut et en bas par √2+1 :
  • y = (√2+1)/(√2-1)×(√2+1)
  • y = √2 +1

Il réinjectait cette dernière valeur de y dans l’équation (1) et obtint : √2 = 1 + 1/√2+1

fraction continue

Fraction continue de racine de 2

√2 pouvait ainsi s’exprimer avec √2 ! Il avait l’impression de tourner en rond et s’arrachat quelques cheveux ! Mais pas tant que ça. Il se dit que le « √2″ figurant à gauche pourrait encore être remplacé par sa valeur « 1 + 1/√2+1″. Et ainsi de suite. Il obtint alors une forme nouvelle  (que l’on appelle aujourd’hui une faction continue ).

On voit que le calcul de √2 sera d’autant plus précis que la fraction sera développée. Ce type de fraction était inconcevable pour les Grecs. Elle mettait en évidence que la valeur de √2 pourrait être approchée, mais jamais atteinte.

On comprend alors pourquoi les Pythagoriciens, dont la devise était que « tout dans la nature est nombre », aient caché le secret de l’irrationalité de √2 et noyé son découvreur…


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Joindre la conversation 3 commentaires

  1. […] Une impasse dans laquelle il s’enferma. Quelques années plus tard, un autre Italien, Raphaël Bombelli (connu aussi pour la décomposition en fraction continue de √2), décida de franchir […]

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  2. […] Bombelli, dans l’Italie du XVIème siècle, avait résolu les équation du troisième degré en inventant les nombres imaginaires. Ces nombres avaient la particularité d’avoir un carré négatif. Il faut bien saisir l’importance de l’audace du mathématicien Italien. […]

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  3. […] had the distinction of having a negative square. We must understand the importance of daring  Italian […]

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