euler2

EULER

Euler et la plus belle formule mathématique de tous les temps

e + 1= 0

L’identité d’Euler a été élue « Plus belle formule mathématique de tous les temps » par un collège de mathématiciens.

EULER et la plus belle formule de tous les temps


A lire sur le même sujet :

En effet, elle relie, en 7 termes,

  • les plus fameuses constantes des mathématiques :  e, i ∏, 1 et 0
  • ainsi que la multiplication, l’addition et l’égalité.

Or ces constantes n’ont a priori rien en commun. Au cours des siècles, elles sont apparues dans la grande histoire des mathématiques dans des contextes très différents, pour résoudre des problèmes qui n’avaient, a priori, rien à voir.

ARTICLE DE FOND : Brève histoire des mathématiques.

∏ – la constante du cercle

fut la première à entre en scène. Associée à l’origine à la géométrie du cercle, connus dès le néolithique, elle a ensuite gagné son indépendance, diffusant progressivement dans tous les champs des mathématiques, apparaissant au détour des séries comme celle d’Euler :

∏²/6  =  ∑1/n²

∏ que l’on croyait alors lié exclusivement à la géométrie du cercle montra alors toute sa puissance et toute sa diversité.

i – le nombre imaginaire

« i » apparut bien plus tard, suite aux travaux de Cardan (Giordano Cardano) puis de Bombelli sur la résolution des équations du troisième degré. « i »  connut aussi un succès fulgurant, sortant bien vite de son berceau  algébrique pour marcher sur les plate-bandes de la physique. Avec i, on put construire les nombres complexes, constitués, d’une part de réel et d’une autre imaginaire : z = a + bi. On inscrit ces nombres imaginaires dans un repère complexe C et on les mélangea bien vite à la trigonométrie. Ce fut la première rencontre entre i et ∏.

e – la constante du logarithme népérien

« e » eut un destin similaire. Introduite par les astronomes comme John Napier pour faciliter les calculs, elle apparut petit à petit dans les séries entières, puis la trigonométrie.

e  =  ∑1/n!

L’identité d’Euler

En 1715, Brook Taylor, un mathématicien anglais proposa d’exprimer les fonctions sous formes de séries faisant intervenir leurs dérivées successives. Il approxima pour cela les fonctions sous forme de polynôme. Mac-Laurin, un confrère, trente ans plus tard, simplifia le procédé en proposant le développement au voisinage de zéro :

f(x) = f(0) + f'(0) x + f »(0) x²/2! + f »‘(0) x³/3! +…

Euler eut alors l’idée d’appliquer cette proposition aux fonctions sinus (x), cosinus (x) et ex. En effet, il savait que les dérivées de cosinus (x) sinus(x) se renvoyaient la balle et que la dérivée de ex  était elle-même :

  • dérivée de cosinus (x) = cos'(x) = – sinus (x)
  • dérivée de sinus (x) = sin'(x) = cosinus (x)
  • dérivée de ex = ex

Il obtint :

  • sin x = x/1! – x³/3! +..
  • cos x = 1- x²/2! +…
  • ex = 1+ x/1! + x²/2! + x³/3!+…

donc :

  • cos x + i sin x = 1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …
  • eix=1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …

et finalement :

  • eix = cos x + i sin x 

et en posant x= ∏ :

e + 1= 0

Nous étions au milieu du XVIIIème siècle ! Et, semble-t-il, nous n’ayons  toujours pas fait mieux ! Euler venait d’unifier toutes les branches connues des mathématiques :

  • ∏ le barycentre de la géométrie, générateur des cercles et des sphères ;
  • i le nombre imaginaire issu de l’algèbre, enfant naturel de l’arithmétique de nos ancêtres grecs ;
  • et e,   l’aboutissement des travaux sur les logarithmes de Napier.

Tout en un, comme si ces constantes étaient suffisantes pour construire l’univers !

Euler est bien le plus grand d’entre tous.


ANNEXEcercle complexe

Équivalence entre les nombres complexes et les logarithmes

Un nombre complexe peut s’exprimer sous la forme z= a + ib.

Il peut aussi s’exprimer sous sa forme trigonométrique :   z = R (cos θ + i sin θ).

R étant le module  et θ l’argument.

On a :

  • a = R cos θ et b = R sin θ.  Et si R = 1 ;
  • z = cos cos θ + i sin θ (équation 1)

L’exponentielle présente la propriété suivante. Si a et b sont deux réels positifs alors

  • e a×b =ea x eb
ln

courbe fonction ln

Euler a alors montré que l’argument θ du nombre complexe z = cos θ + i sin θ a les mêmes propriétés :

Prenons deux nombres complexes :

  • z= cos θ + i sin θ
  • z’= cos  θ’ + i sin θ’

z ×z’= (cos θ + i sin θ) × (cos  θ’ + i sin θ’)

  • = (cos θ cos  θ’ – sin θ sin θ) + i ( cos θ + sin θ’ +sin θ + cos θ’ )
  • = cos (θ +θ’) + i sin (θ+θ’) (application des formules trigonométriques

donc arg (z ×z’) =  arg (z) + arg (z’),

Ce que l’on retrouve en posant

  • z = eiϴ
  • z’ = eiϴ’
  • z x z’ = eiϴ x eiϴ’
  • z x z’ = ei(ϴ+ϴ’)

lorsque θ = 0,  z=1



Publicités

Joindre la conversation 12 commentaires

  1. […] EULER et la plus belle formule de tous les temps […]

    J'aime

    Réponse
  2. […] EULER et la plus belle formule de tous les temps […]

    J'aime

    Réponse

Laisser un commentaire

Choisissez une méthode de connexion pour poster votre commentaire:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s

CATÉGORIE

Autres histoires de mathématiques, Mathématiques

Mots-clefs

, , , ,