Euler et la plus belle formule mathématique de tous les temps

e^iΠ + 1= 0

L’identité d’Euler a été élue « Plus belle formule mathématique de tous les temps » par un collège de mathématiciens.

Article de fond : brève histoire des mathématiques

En effet, elle relie, en 7 termes,

• les plus fameuses constantes des mathématiques :  e, i ∏, 1 et 0
• ainsi que les opérations élémentaires : la multiplication, l’addition et l’égalité.

Or ces constantes n’ont a priori rien en commun. Au cours des siècles, elles sont apparues dans la grande histoire des mathématiques dans des contextes très différents, pour résoudre des problèmes qui n’avaient, a priori, rien à voir.

EULER et la plus belle formule de tous les temps

∏ – la constante du cercle

∏ fut la première à entrer en scène. Associée à l’origine à la géométrie du cercle, connue dès le néolithique, elle a ensuite gagné son indépendance, diffusant progressivement dans tous les champs des mathématiques, apparaissant au détour des séries comme celle d’Euler :

∏²/6  =  ∑1/n²

∏ que l’on croyait alors lié exclusivement à la géométrie du cercle montra toute sa puissance et toute sa diversité.

i – le nombre imaginaire

« i » apparut bien plus tard, suite aux travaux de Cardan (Giordano Cardano), puis de Bombelli sur la résolution des équations du troisième degré. « i »  connut aussi un succès fulgurant, sortant bien vite de son berceau  algébrique pour marcher sur les plate-bandes de la physique. Avec i, on put construire les nombres complexes, constitués, d’une partie réelle et d’une autre imaginaire : z = a + bi. On inscrit ces nombres imaginaires dans un repère complexe C et on les mélangea bien vite à la trigonométrie. Ce fut la première rencontre entre i et ∏.

e – la constante du logarithme népérien

« e » eut un destin similaire. Introduite par les astronomes comme John Napier pour faciliter les calculs, elle apparut petit à petit dans les séries entières, puis la trigonométrie.

e  =  ∑1/n!

L’identité d’Euler

En 1715, Brook Taylor, un mathématicien anglais proposa d’exprimer les fonctions sous formes de séries faisant intervenir leurs dérivées successives. Il approxima pour cela les fonctions sous forme de polynômes. Trente ans plus tard, Mac-Laurin simplifia le procédé en proposant le développement au voisinage de zéro :

f(x) = f(0) + f'(0) x + f »(0) x²/2! + f »‘(0) x³/3! +…

Euler eut alors l’idée d’appliquer cette proposition aux fonctions sinus (x), cosinus (x) et e^x. En effet, il savait que les dérivées de cosinus (x) sinus(x) se renvoyaient la balle et que la dérivée de e^x  était elle-même :

• dérivée de cosinus (x) = cos'(x) = – sinus (x)
• dérivée de sinus (x) = sin'(x) = cosinus (x)
• dérivée de e^x = e^x

Il obtint :

• sin x = x/1! – x³/3! +..

• cos x = 1- x²/2! +…

• e^x = 1+ x/1! + x²/2! + x³/3!+…

donc :

• cos x + i sin x = 1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …
• e^ix=1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …

et finalement :

• e^ix = cos x + i sin x 

et en posant x= ∏ :

e^iΠ + 1= 0

Nous étions au milieu du XVIIIème siècle ! Et, semble-t-il, nous n’avons  toujours pas fait mieux ! Euler venait d’unifier toutes les branches connues des mathématiques :

• ∏ le barycentre de la géométrie, générateur des cercles et des sphères ;

• i le nombre imaginaire issu de l’algèbre, enfant naturel de l’arithmétique de nos ancêtres grecs ;

• et e,   l’aboutissement des travaux sur les logarithmes de Napier.

Tout en un, comme si ces constantes étaient suffisantes pour construire l’univers !

Euler est bien le plus grand d’entre tous.

ANNEXE

Équivalence entre les nombres complexes et les logarithmes

Un nombre complexe peut s’exprimer sous la forme z= a + ib. Il peut aussi s’exprimer sous sa forme trigonométrique :   z = R (cos θ + i sin θ). R étant le module  et θ l’argument. On a :

• a = R cos θ et b = R sin θ.  Et si R = 1 ;
• z = cos cos θ + i sin θ (équation 1)

L’exponentielle présente la propriété suivante. Si a et b sont deux réels positifs alors

• e ^a×b =e^a x e^b

Euler a alors montré que l’argument θ du nombre complexe z = cos θ + i sin θ a les mêmes propriétés :

Prenons deux nombres complexes :

• z= cos θ + i sin θ

• z’= cos  θ’ + i sin θ’

z ×z’= (cos θ + i sin θ) × (cos  θ’ + i sin θ’)

• = (cos θ cos  θ’ – sin θ sin θ) + i ( cos θ + sin θ’ +sin θ + cos θ’ )

• = cos (θ +θ’) + i sin (θ+θ’) (application des formules trigonométriques)

donc arg (z ×z’) =  arg (z) + arg (z’),

Ce que l’on retrouve en posant

• z = e^iϴ
• z’ = e^iϴ’
• z x z’ = e^iϴ x e^iϴ’
  
• z x z’ = e^i(ϴ+ϴ’)

lorsque θ = 0,  z=1

Formule d’Euler : e^ix = cos x + i sin x  soit f(x) = cox + i sin x f'(x) = -sin x +i cos x donc f'(x) = i f(x)

• C’est une équation différentielle de la forme y’=ky
• la solution est de la forme f(x) = K
• or f(0) = 1 = K
• donc f(x) = e^ix
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