Ce fut en Grèce que les mathématiques furent inventés. « Inventés » ? Ce raccourci semble négliger les savants babyloniens, indiens et égyptiens qui les avait précédés.  « Inventés » car ce furent nos amis Grecs qui les premiers eurent le souci de la démonstration. Leurs ancêtres « constataient » des propriétés, les Grecs les démontraient.


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pythagore

démonstration du théorème de Pythagore

Les trois énigmes des mathématiciens grecs

Descartes n’avaient pas encore inventé les coordonnées qui portent encore son nom ;  aussi les démonstrations étaient-elles géométriques.

Pythagore, par exemple, était un expert du puzzle : ce fut ce talent qui lui permit de démontrer son théorème. A force de découpage, il constata en effet que la mosaïque qu’il avait construit du côté de l’hypoténuse comprenait bien :

  • le carré rouge, qu’il avait dessiné du côté du petit côté ;
  • les autres morceaux gris, bleu, vert et jaune, qu’il avait dessinés du côté du grand côté.

CQFD et sans aucun calcul !

La règle et le compas

Les grecs étaient passionnés de géométrie. Deux instruments devaient permettre de tout construire : la règle (non-graduée) et le compas. La construction du cercle et du carré était bien entendu évidente ! Il s’agissait donc des deux figures fondamentales, données aux hommes par les dieux. Avec de la persévérance, de l’imagination de la souffrance aussi, Euclide, Archimède, relevèrent tous les défis. Pourtant, trois figures résistèrent à toutes les tentatives.

Histoire des mathématiques

Les trois énigmes des mathématiciens grecs


La duplication du cube

Hippocrate de Chios (430 av JC)

thales

Thalès

Nous étions au VIème siècle avant Jésus-Christ. Les prêtres étaient rassemblés autour de l’Oracle. Ce dernier leur promettait de libérer la Grèce de la peste brune. Mais pour que la prophétie devienne réalité, il fallait que le volume de l’autel d’Apollon soit doublé. Cet autel était un gros cube de côté d et donc de volume d³ : le problème était bien simple : obtenir un cube de volume 2 d³. On alla chercher les plus grands géomètres ; ils doublèrent la longueur d’un côté et obtinrent ainsi  un cube de côté 2d et donc de volume 8 d³ et non-pas 2d³. La peste dévasta le pays.  Il fallait peut-être prendre le problème dans l’autre sens. Trouver un cube de volume ³√(2d³) ou en simplifiant d³√2. Il fallu attendre 2500 ans pour découvrir que la racine cubique de 2 n’était (et n’est toujours) pas constructible avec un règle et un compas.

Histoire des mathématiques

Les trois énigmes des mathématiciens grecs


La trisection de l’angle

Hippias d’Elis (425 avant JC)

tri

bi-section de l’angle

Il était facile de couper un angle en deux. On se plaçait sur l’intersection des deux segments qui forment l’angle et on traçait un cercle au compas.

Archimede

Le compas

Ce cercle coupait les segments en un point. On traçait deux nouveaux cercles à partir de ces deux nouveaux centres. Ces deux cercles se coupaient en deux points. La droite qui passait par ces deux points était la bissectrice qui coupait l’angle en deux.

Mais comment couper l’angle en trois ? Impossible. Les plus grands mathématiciens se cassèrent les dents,  la pointe de leur compas et leurs règles.

2500 ans furent encore nécessaire pour que c’était impossible.

Histoire des mathématiques

Les trois énigmes des mathématiciens grecs


La quadrature du cercle

Artemon de Clazomènes (435 avant JC)

Comme on l’a vu le carré était magique. Il était l’étalon de la mesure. Toute surface devait être ramenée à une surface carrée. Pour un rectangle, c’était assez simple: sa surface était (et est toujours) égale à d × D. Le carré de même surface  devait avoir un côté de √d×D.

On s’intéressa alors au cercle. Il avait un rayon R. Comment construire un carré de même surface ? Les Égyptiens connaissaient déjà une valeur approchée de ∏. Les Grecs l’avaient affinée. La surface du cercle était donc de ∏ R². Le carré devait donc avoir un côté a = √(∏R²) ou a = R√∏, rien de plus simple. Il fallu encore attendre la XIXème siècle pour découvrir que ∏ est transcendant ; c’est-à-dire qu’il n’est pas la solution d’une équation  du type a² = ∏. On doit la démonstration à Carl Louis Ferdinand von Lindemann.


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  1. […] monde vient de se doter d’un nouvel outil : les fonctions. Les premiers mathématiciens grecs avaient […]

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  2. […] devait pouvoir être dessiné avec deux ustensiles : une règle non-graduée et un compas. Aussi, trois problèmes célèbres, ont-ils résisté aux grecs […]

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  3. […] s’intéresse notamment aux équations du second degré. Mais il est encore empêtré dans les interdits grecs qui refusent de reconnaître l’existence de nombre négatifs ou de nombres irrationnels. En […]

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  4. […] Buttant sur la quadrature du cercle, c’est-à-dire l’expression de la surface d’un cercle sous la forme d’un nombre au carré, Euclide puis Archimède décidèrent d’inscrire à l’intérieur un polygone dont ils savaient calculer la surface. Un second fut dessiné à l’extérieur.  Cette méthode permit d’encadrer Pi, le rapport entre le cette surface et le rayon du cercle au carré. […]

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  5. […] in geometry, everything had to be designed with two utensils: a non-ruler and a compass. Also, three famous problems , they resisted the […]

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  6. […] Like Newton, a few years later, he discovered the mathematics in books and especially in the works of scholars Greek as Diophantus had developed methods of resolutions of equations with integer […]

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