Brook Taylor et les séries

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1685. Les mathématiques ont depuis longtemps quitté la Grèce où ils sont nés, l’Italie et la France où ils ont grandi et ont traversé la Manche. Au collège Saint John de Cambridge le jeune Brook Taylor étudie les mathématiques auprès d’un monstre sacré de la discipline John Machin, l’homme aux cents décimales de Pi ! Brook se sent avant tout un physicien.

Brook TAYLOR et les séries

1708, diplômé du prestigieux collège, il hésite encore entre la rigueur et la pureté cristalline des mathématiques et le plus rapide chemin pour comprendre le monde : la physique. Il choisit la physique ; mais c’est pourtant dans les mathématiques qu’il va briller et c’est grâce aux mathématiques que la postérité se souviendra de lui !

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Les séries de TAYLOR

Le monde vient de se doter d’un nouvel outil : les fonctions. Les premiers mathématiciens grecs avaient :

  • d’un côté développé la géométrie et
  • de l’autre l’arithmétique.

Les coordonnées cartésiennes

Descartes, grâce aux coordonnées qui portent encore son nom, avait relié ces deux mondes : une droite représentée dans son repère (dit cartésien) était la représentation d’une équation du premier degré à une inconnue : y = ax +b. Le point d’intersection de deux droites était la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues…

Les fonctions

Puis, on eut l’idée de tracer dans ce même repère cartésien des fonctions : par exemple la température (y°C) pouvait être « fonction » de la puissance (x) d’un foyer. La vitesse (y km/h)  fonction de la puissance d’un moteur. On posa y = f(x). Les fonctions étaient nées.

Histoire des mathématiques

Les séries de TAYLOR

Taylor est alors membre de la société royale et est chargé de régler le différent entre Newton et Leibniz portant sur la paternité du calcul différentiel. Qui est le père de la dérivée, cette fonction notée f'(x) qui a tout point d’une courbe donnait sa tangente ? La querelle n’est aujourd’hui toujours pas réglée ! De cette mission Taylor va tirer profit.

On savait que toute fonction algébrique pouvait s’exprimer selon une combinaison de la fonction simple y = ax+b. Par exemple une fonction algébrique du second degré pouvait s’écrire  y = (a1x+b1) (a2x+b2). Et plus généralement :

 y = (a1x+b1) (a2x+b2) (a3x+b3)… (anx+bn).

Il l’écrit sous la forme (équation (1)) :

f(x) = b0 +  b1 (x-a)1  +  b2 (x-a)2  +  b3 (x-a)³+.. +  bn (x-a)n 

Puis, il en calcule la dérivée première, puis seconde,… :

  • f'(x) = b1 + 2b2 (x-a) + 3 b3 (x-a)² + … + n bn (x-a)n-1
  • f »(x) = 2b2 + 6 b3 (x-a) + … + n (n-1) bn (x-a)n-2
  • f »‘(x) =  6 b3 (x-a) + … + n (n-1) (n-2) bn (x-a)n-3

Puis, il pose x=a, ce qui donne

  • f(a) = b0 
  • f'(a) = b1
  • f »(a) = 2b2
  • f »‘(a) = 6b3 = 2×3 b3

et donc, en généralisant :

  • bn = fn(a) /n !

Histoire des mathématiques

Les séries de TAYLOR

L’équation (1) peut donc être réécrite :

  • f(x) = f(a) +  f'(a)  (x-a)1  /1! + f »(a)  (x-a)2  /2! +.. + fn(a) (x-a)n  / n! +…

Voilà la série de Taylor que la postérité va retenir. Colin Mac Laurin, en 1742, va un peu modifier la formule en posant a = 0.

  • f(x) = f(0) +  f'(0)  x + f »(0)  (x)2  /2! +.. + fn(0) (x)n  / n! +…

Histoire des mathématiques

Les séries de TAYLOR pour les fonctions usuelles

Pour y = f(x) = sin x (x) ?

  • sin (x) = x¹/1! – x³/3!  +  x5/5!  – x7/7!…

Pour y = f(x) = cos (x) ?

  • cos (x) = 1 – x2/2! + x4/4!  –  x6/6!  + x8/8!…

Pour y = e(x) ?

  • e(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!  + x4/4!…

On peut retrouver grâce à cet outil fantastique la fameuse formule d’Euler, la plus belle formule de tous les temps :

  • cos x + i sin x = 1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …
  • eix=1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …
  • eix = cos x + i sin x 

et en posant x= ∏ :

eiΠ– 1= 0

Merci monsieur TAYLOR

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