ptolémée

Trigonométrie… Un mystère pour la plupart d’entre nous. Le mot nous vient du grec. « Gone » est l’angle, comme dans polygone. Le trigone est donc le triangle. Métron est l’art de mesurer. La tri-gono-métrie  est donc l’art de mesurer les angles dans le triangle.

L’histoire de la trigonométrie


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Carte des étoiles

Dans les époques les plus reculées, lorsqu’en mer tous les points de repères terrestres avaient disparu, les derniers moyens à la disposition des marins pour se diriger étaient les étoiles. La trigonométrie fut très tôt développée dans l’histoire de l’humanité, car elle permit une lecture du ciel, essentielle à la navigation.

Comme l’avait indiqué Aristote et Ptolémée, les étoiles,  étaient accrochées à la sphère des « fixes ». On pouvait donc s’y fier pour garder le nord, sous réserve de maîtriser l’art de la triangulation : la trigonométrie. Astronomes, marins, puis architectes furent donc les premiers développeurs de cet art de la mesure des angles du triangle.

La trigonométrie ne resta pas très longtemps cantonnée à la navigation. Bien vite, les architectes, les ingénieurs et les mathématiciens comprirent très vite tout l’intérêt de cette nouvelle branche de la géométrie.

D’Alembert, le grand mathématicien de l’Encyclopédie, a donné sa définition de la trigonométrie en 1751 : c’est « l’art de trouver les parties inconnues d’un triangle par le moyen de celles (les parties) qu’on connaît ».

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie – tout commence (comme souvent) en Mésopotamie

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Cadran babylonien en base 60

Tout commence en Mésopotamie, et plus précisément à Babylone, en 2000 ans avant Jésus-Christ. L’astronomie est alors couramment utilisée pour l’interprétation des messages venus du ciel : les astronomes sont aussi les intermédiaires entre le Roi et les dieux.

Les Babyloniens ont développé leurs mathématiques en base hexadécimale. Le cercle est partagé en quatre sections de 90°, soient 360° Ce système hexadécimal est arrivé jusqu’à nous : les cadrans de nos montrent sont toujours dimensionnés selon une base babylonienne.

Archimede

Archimède

Les Grecs

Cet héritage babylonien, enrichi par le savoir venu de la vallée de l’Indus (l’introduction du zéro et du système décimale), va être synthétisé puis amélioré par les Grecs, Eudoxe de Cnide, Archimède, Euclide notamment.

Ces derniers s’intéressaient à la course des planètes, ces objets célestes qui, contrairement aux « fixes » (les étoiles), décrivaient dans le ciel des trajectoires étranges, qui n’étaient ni des cercles, ni des ellipses, qui parfois accéléraient, puis ralentissaient, voire rebroussaient chemin.

Comme on ne pouvait pas mesurer la distance entre les étoiles, le recours au compas était obligatoire : on définissait la position d’un astre par rapport à son voisin par l’angle formé avec la terre. L’astronome Hipparque de Nicée eut l’idée d’introduire la notion de corde, ancêtre du sinus pour suivre la position des planètes :

corde

La corde d’Hipparque de Nicée

Il s’agissait de relier par un segment de droite l’intersection entre :

  • le secteur angulaire décrit par une planète et
  • le cercle de rayon 1.

La longueur de ce segment de droite représentait la corde. Hipparque put ainsi construire des tables de cordes. En connaissant une corde, Hipparque obtenait, en cherchant dans ses tables, le secteur angulaire. La corde, telle que donnée par Hipparque, représentait ce qu’on appelle aujourd’hui le sinus ou, pour être plus exact, correspondait au double de notre sinus.

geocentrisme

Géocentrisme de Ptolémée

Ptolémée

Vers la fin de II ème siècle avant Jésus-Christ, cet héritage fut récupéré par Ptolémée, un astrologue d’Alexandrie. Ptolémée ne croyait pas à l’héliocentrisme d’Aristarque de Samos ou de Pythagore. Il remit la terre au centre de l’univers.

Mais avec une telle erreur, le calcul de la trajectoire des planètes devint très compliqué. Il dut multiplier le nombre de sphères pour que ses calculs « collent » plus ou moins à la réalité.

Pourtant, cette erreur, qui fera perdre un temps infini à l’humanité, aura la dent dure : il faudra attendre 1500 ans pour qu’elle soit démasquée par Copernic.

L’histoire des mathématiques

La trigonométrie – la période noire de la chrétienté

Altomonte,_Bartolomeo_-_The_Immaculate_Conception_-_1719La chrétienté fut une période noire pour les mathématiques en général et pour la science en particulier. Le nombre de mathématiciens fut réduit à sa portion congrue. Les seuls débats autorisés devaient se concentrer sur des concepts purement théologiques :la divinité du christ ; l’immaculée conception ou la sainte trinité. Les conciles, comme celui de Nicée (325), étaient les instances de la chrétienté où ces sujets essentiels étaient évoqués et discutés. La terre était plate et la trigonométrie n’avait plus d’intérêt. La divine inquisition brûla tous ceux qui par leur questionnement auraient pu remettre en cause ses simples principes.

Voici le genre de progrès que permit la chrétienté (à l’occasion du premier concile de Nicée) :

« Nous croyons en un seul Dieu, Père tout-puissant, Créateur de toutes choses visibles et invisibles. Et en un seul Seigneur Jésus-Christ, Fils unique de Dieu, engendré du Père, c’est-à-dire, de la substance du Père. Dieu de Dieu, lumière de lumière, vrai Dieu de vrai Dieu ; engendré et non fait, consubstantiel au Père ; par qui toutes choses ont été faites au ciel et en la terre. Qui, pour nous autres hommes et pour notre salut, est descendu des cieux, s’est incarné et s’est fait homme ; a souffert et est mort crucifié sur une croix, est ressuscité le troisième jour, est monté aux cieux, et viendra juger les vivants et les morts. Et au Saint-Esprit. »

Tout était dit. En revanche, la trigonométrie n’avait pas avancé d’un pouce.

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie – du côté de l’Est

Le sinus de Aryabhata

Puisqu’en terre chrétienne la science était enlisée dans les sables de l’inquisition, l’héritage grec profita à d’autres. Au Vème siècle, en Inde, Aryabhata, encore un astronome, établit des tables de demi-cordes  : le sinus était né !

tri3

Il en profita pour donner une approximation de ∏ assez honnête :

Multipliez 104 par 8, puis ajoutez alors 62 000. Vous obtenez  la circonférence d’un cercle de diamètre de vingt mille. Aryabhata.

Ce qui donnait = 62832/20000 = 3.1416.

A l’abri des foudres chrétiennes, il posa que la terre tournait sur son axe et qu’elle ne se situait pas au centre de l’Univers.

La tangente

Puis, ce fut autour de la tangente, dont les tables furent écrites par un autre astronome, Al Battani, le Perse au VIIIème siècle. L

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Le cercle trigonométrique

La tangente est le rapport entre le sinus et le cosinus.

Cette invention de la tangente inspirera les mathématiciens qui lui succéderont et sera à l’origine au XVIIème siècle du calcul différentiel que l’on doit au mathématicien français FERMAT.

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie – La renaissance italienne

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Jean Bernoulli

L’Europe redécouvrit les mathématiques avec Fibonacci au XII ème siècle. Il  importa d’Afrique du Nord, où son père était commerçant, le zéro, les chiffres indo-arabes et le système décimal. Les mathématiques italiennes se développèrent d’abord essentiellement pour des raisons comptables et commerciales.

En cherchant à calculer des taux d’intérêt, Jean Bernoulli trouva la valeur de la constante e.


Regiomontanus

Les mathématiques diffusèrent à travers l’Europe. En Allemagne, au XVème siècle, Regiomontanus (un astronome !) admirateur de Ptolémée, donna à la trigonométrie ses lettres de noblesse. Il la « détacha » de l’astronomie et en fit une branche des mathématiques à part entière.  L’usage du terme « sinus » (« pli » en latin) devint définitif. La corde fut abandonnée.

Retour en Inde

En Inde, on retrouva la relation entre le sinus d’un angle (sa projection sur l’axe des y) et son cosinus (sa projection sur l’axe des x).

cos² + sin² = 1

Un application basique du théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formé par le cosinus, le sinus et le rayon du cercle (qui est aussi (l’hypoténuse du triangle) permet de retrouver facilement ce résultat simple mais majeur.

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie et Pi

On ne peut pas parler de trigonométrie sans évoquer Pi, cette constante qui a tourné la tête des grands penseurs de l’antiquité. Les Indiens, très tôt, utilisèrent Pi pour caractériser les angles à l’intérieur d’un cercle de rayon 1.tri5

  • Le demi-cercle de rayon R=1 mesurait ∏ en radians (180 °) ;
  • L’angle droit (le quart de cercle) mesurait  ∏/2 en radians (90°) ;
  • Le tour complet valait (et vaut toujours) 2 ∏ radians (360°).

Varahamihira

Dès le VIème siècle, Varahamihira, un autre mathématicien indien, bien entendu astronome,  avait établi une relation, entre les sinus et le cosinus d’un angle α :

sin α = cos (∏/2-α).

Sinus et cosinus étaient manifestement liés. Le sinus d’un angle α est égal au cosinus de l’angle droit auquel on aurait retranché cet angle α. Bien d’autres formules trigonométriques seront découvertes, dont les plus connues sont celles de la somme des angles :

  • sin (x + y) = sin x.cos y + cos x.sin y
  • sin (xy) = sin x.cos y – cos x.sin y
  • cos (x + y) = cos x.cos y – sin x.sin y
  • cos (xy) = cos x.cos y + sin x.sin y

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie et le monde imaginaire

iBombelli, dans l’Italie du XVIème siècle, avait résolu les équation du troisième degré en inventant les nombres imaginaires. Ces nombres avaient la particularité d’avoir un carré négatif. Il faut bien saisir l’importance de l’audace du mathématicien Italien.

Pour les Grecs un nombre était un objet de la nature. C’était même la nature. Un nombre négatif, par exemple, n’avait aucun sens : rien ne pouvait en effet mesurer – 5 coudées !  Les Indiens de la vallée de l’Indus ne s’embarrassaient pas de telles considérations. Ils firent un premier pas de géant en inventant les nombres négatifs. Bombelli fit le second. Il inventa le nombre imaginaire i = √-1 avec i²=-1. Un tel nombre n’avait aucune signification physique ! Que pouvait bien être un panier contenant i pommes ? Pourtant ce nombre magique permit des avancées fulgurantes en mathématiques. Lorsqu’on tombait sur un os, on passait brièvement dans le monde imaginaire où les calculs étaient facilités, puis on revenait dans le réel avec la solution ! On définit alors les nombres complexes :

Un nombre complexe z est un nombre qui a :

Il est noté sous la forme z = a + bi. Mais quel rapport avec la trigonométrie ?

Un point M peut se représenter par ses coordonnées a et b dans le repère cartésien modifié en plan complexe  :

  • l’axe des x est l’axe de la partie réelle et
  • l’axe des y est l’axe de la partie imaginaire.
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plan complexe

On dit que M est le point d’affixe z = a + bi. Il peut aussi s’écrire  z= cos x + i sin x, si x est l’angle en radians que fait OM avec l’axe des réels.

Le module (la longueur du segment OM) du nombre complexe z = cos x + i sin x est égal à √(cos² x+ sin²x). Le plan complexe est donc un plan dans lequel un point peut être défini avec des grandeurs issues de la trigonométrie.

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie et la formule de MOIVRE

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Louis XIV

En 1685, Louis IV révoqua l’édit de Nantes voulue par Henri IV. La persécution envers les protestants reprit de plus belle. Ce fut dans ce contexte agité qu’Abraham MOIVRE, un mathématicien français protestant, permit une avancée majeure. Il définit dans le plan complexe un point M affixe z = a + bi, inscrit sur le cercle de rayon 1.

Il posa z =cos x + i sin x. Il montra alors que le point N d’affixe z était également sur le cercle et il formait avec l’axe des nombres réels un angle de nx radians, ou plus généralement :

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx  –  Formule de MOIVRE

Un petite démonstration par récurrence  de la forme MOIVRE

Elle est vraie pour n=1. On suppose  qu’elle est donc vraie au rang n :

(cos x +i.sin x)n = cos nx+i.sin nx

On a successivement :

  •  (cos x +i.sin x)n+1 =  (cos x + i . sin x) . (cos x + i . sin x)n
  • = (cos x + i.sin x) . (cos nx + i . sin nx) – (hypothèse de récurrence)
  • = cos x . cos nx – sin x . sin nx + i (sin x . cos nx + cos x . sin nx) – (en développant)
  • = cos ((n+1) x) + i.sin ((n+1) x)  – (avec les formules trigonométriques de cos (a+b) et sin (a+b))

Donc :

(cos x +i.sin x)n+1 = cos ((n+1) x) + i.sin ((n+1) x)

C’est aussi vrai au rang n+1 et c’est donc vrai tout le temps.

L’histoire de la trigonométrie

La trigonométrie, Euler et la plus belle formule du monde

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Euler

Quand on s’intéresse à l’histoire des mathématiques, quel que soit le sujet, on tombe un moment ou à un autre sur Euler. C’est le cas aussi pour la trigonométrie : Ce diable de mathématicien suisse établit  la fameuse formule :

eix = cosx + i sinx – Euler

Cette expression permet de faciliter grandement les calculs. En posant x = ∏, c’est-à-dire un demi-cercle, on trouve :

e– 1= 0

formule qui a récemment été élue comme la plus belle  tous les temps.

Les séries de TAYLOR pour retrouver la formule d’Euler


  • sin x = x¹/1! – x³/3!  +  x5/5!  – x7/7!..
  • cos x = 1 – x2/2! + x4/4!  –  x6/6!  + x8/8!..
  • e(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!  + x4/4!…

Donc :

  • cos x + i sin x = 1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …

et

  • eix=1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …

donc

  • eix = cos x + i sin x

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Joindre la conversation 11 commentaires

  1. […] Si l’Afrique fut le berceau de l’homme, la Mésopotamie fut celui de sa civilisation.  On connait fort bien son histoire à travers les milliers de tablettes d’argile découverte, notamment à Babylone. Les Babyloniens avaient mis en place les premiers éléments de géométrie, découvrant l’existence de ∏,  ce rapport constant entre le périmètre d’un cercle et son diamètre, le théorème de Pythagore ainsi que la trigonométrie. […]

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  2. […] basics of trigonometry , including improving their […]

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