Les éditions des Chavonnes vous propose une petite démonstration visant à prouver que l’intégrale d’une fonction représente l’aire sous la courbe de cette fonction.

Intégrale : l’aire sous la courbe

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Prenons une fonction continue dont la courbe est représentée ci-contre en rouge. Elle a un maximum et un minimum.

Soit A(x) une fonction qui représente l’aire sous la courbe, entre a et x.

A(x+h)-A(h) représente l’aire sous la courbe entre x et h. Cette aire est :

plus petite que celle représentée par max × h et
plus grande que celle représentée par min × h.

Donc, on peut écrire :

max × h < A(x+h)-A(h) < min × h
max < A(x+h)-A(h) / h < min

soient x1 et x2 tels que min = f(x1) et max = f(x2)

f(x1) < A(x+h)-A(h) / h < f(x2)

Si h tend vers 0 :

x1 tend vers x2, jusqu’à se confondre en x et
A(x+h)-A(h) / h devient A'(x), la dérivée de A(x), donc
f(x) < A'(x) < f(x)

La dérivée de la fonction A(x), c’est-à-dire la surface sous la courbe, est bien la fonction f(x).

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Intégrale et aire sous la courbe

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