Les éditions des Chavonnes vous propose une petite démonstration visant à prouver que l’intégrale d’une fonction représente l’aire sous la courbe de cette fonction.
Intégrale : l’aire sous la courbe
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Prenons une fonction continue dont la courbe est représentée ci-contre en rouge. Elle a un maximum et un minimum.
Soit A(x) une fonction qui représente l’aire sous la courbe, entre a et x.
A(x+h)-A(h) représente l’aire sous la courbe entre x et h. Cette aire est :
- plus petite que celle représentée par max × h et
- plus grande que celle représentée par min × h.
Donc, on peut écrire :
- max × h < A(x+h)-A(h) < min × h
- max < A(x+h)-A(h) / h < min
soient x1 et x2 tels que min = f(x1) et max = f(x2)
- f(x1) < A(x+h)-A(h) / h < f(x2)
Si h tend vers 0 :
- x1 tend vers x2, jusqu’à se confondre en x et
- A(x+h)-A(h) / h devient A'(x), la dérivée de A(x), donc
- f(x) < A'(x) < f(x)
La dérivée de la fonction A(x), c’est-à-dire la surface sous la courbe, est bien la fonction f(x).
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