Nous allons marcher sur les pas du savant de Leipzig… En remarquant que tan (∏/4)= 1 et donc que arc-tangente (1) = Π/4, nous allons procéder comme le mathématicien allemand
- Cercle trigonométrique Tangente Pi/4
En effet, ∏/4 est l’angle à 45°, dont le sinus et le cosinus sont égaux. Donc tan (∏/4) = sin ( ∏/4) / cos (∏/4)= 1
On va d’abord chercher une dérivée de la fonction Arc-tangente qui est la réciproque de la fonction tangente). On note
Arctan (x) = tan-¹(x).
On pose alors f (x) = tan (x) et on se sert du théorème permettant de trouver les dérivées des fonctions réciproques : (f-¹)’ (x) = 1/f’ o f-¹
Théorème de la dérivée des fonctions réciproques
Soit
une fonction dérivable et strictement monotone de l’intervalle
sur l’intervalle
(f est alors une bijection de I vers J). Si
ne s’annule par sur
est dérivable sur
et (f-¹)’ (x) = 1/f’ o f-¹
Il nous faut d’abord trouver la dérivée de la fonction tan x= sin x/cos x qui intervient dans ce théorème. Elle est de la de la forme U/V où U = sin x et V : cos x.
- tan'(x) = [sin x / cos x]’
- tan'(x) = [cos x × cos x – sin x × (- sin x) ] / cos ² x
- tan'(x) = [cos² x+ sin² x ] / cos ² x
- tan'(x) =1 + [sin x/cos x]²
- tan'(x) = 1 + tan² (x)
Maintenant, intéressons nous à Arctan’ (x), grâce au théorème des dérivées des fonctions réciproques :
- Arctan’ (x) = 1/ [1+tan²(Arctan x]
- Arctan’ (x) = 1/1+x²
On peut maintenant développer en série de Taylor ce résultat. La série de Taylor pour
- 1/1+x = 1 – x + x²- x³ +….
Pour
- 1/ [1+x²] = 1 – x² + x4 -…., or
- Arctan (x) = ∫ Arctan’ (x), donc
- Arctan (x) = ∫ 1 – x² + x4 -…. et
- Arctan (x) = x – x³/3 + x5 /5-
On sait que
- tan(∏/4) = 1 et donc
- Arctan (1) = ∏/4
- Arctan (1) = 1 – 1/3 + 1/5- 1/7…
- ∏/4= 1 – 1/3 + 1/5- 1/7…
Voilà pour les courageux de quoi approximer Pi
