Un calcul de Pi par Leibniz

Nous allons marcher sur les pas du savant de Leipzig… En remarquant que tan (∏/4)= 1 et donc que arc-tangente (1) = Π/4, nous allons procéder comme le mathématicien allemand

Cercle trigonométrique Tangente Pi/4

En effet, ∏/4 est l’angle à 45°, dont le sinus et le cosinus sont égaux. Donc tan (∏/4) = sin ( ∏/4) / cos (∏/4)= 1

On va d’abord chercher une dérivée de la fonction Arc-tangente qui est la réciproque de la fonction tangente). On note

Arctan (x) = tan-¹(x).

On pose alors f (x) = tan (x) et on se sert du théorème permettant de trouver les dérivées des fonctions réciproques : (f-¹)’ (x) = 1/f’ o f-¹

Théorème de la dérivée des fonctions réciproques

Soit une fonction dérivable et strictement monotone de l’intervalle sur l’intervalle (f est alors une bijection de I vers J). Si ne s’annule par sur alors la fonction est dérivable sur et  (f-¹)’ (x) = 1/f’ o f-¹

Il nous faut d’abord trouver la dérivée de la fonction tan x= sin x/cos x qui intervient dans ce théorème. Elle est de la de la forme U/V où U = sin x et V : cos x.

• tan'(x) = [sin x / cos x]’
• tan'(x) = [cos x × cos x – sin x × (- sin x) ] / cos ² x
• tan'(x) = [cos² x+ sin² x ] / cos ² x
• tan'(x) =1 + [sin x/cos x]²
• tan'(x) = 1 + tan² (x)

Maintenant, intéressons nous à Arctan’ (x), grâce au théorème des dérivées des fonctions réciproques :

• Arctan’ (x) = 1/ [1+tan²(Arctan x]
• Arctan’ (x) = 1/1+x²

On peut maintenant développer en série de Taylor ce résultat. La série de Taylor pour

• 1/1+x =  1 – x + x²- x³ +….

Pour

• 1/ [1+x²] =  1 – x² + x⁴ -…., or
• Arctan (x) = ∫ Arctan’ (x), donc
• Arctan (x) = ∫ 1 – x² + x⁴ -…. et
• Arctan (x) = x – x³/3 + x⁵ /5-

On sait que

• tan(∏/4) =  1 et donc
• Arctan (1) = ∏/4
• Arctan (1) = 1 – 1/3 + 1/5- 1/7…
• ∏/4= 1 – 1/3 + 1/5- 1/7…

Voilà pour les courageux de quoi approximer Pi