Ce magicien des nombres entiers  est né quelque part à une certaine époque. Eh oui ! On ne sait pas grand chose sur celui qui laissa son nom à un groupe d’équations qui ont fait tourner la tête des meilleurs mathématiciens, Fermat, Euler, Gauss et les autres.
Dans le peu d’ouvrages qui sont parvenus jusqu’à nous, on trouve toutefois un certain nombre d’indices qui laissent penser qu’il aurait vécu du côté d’Alexandrie vers le IIIème siècle avant Jésus-Christ. Mais rien n’est moins sûr.

fermat

Pierre de FERMAT

Rendons grâce à Regiomontanus, un astronome allemand, qui a sauvé de Constantinople assiégée par les troupes de Mehmet II, un manuscrit romain reprenant les éléments de Diophante. Ils sera le livre de chevet de Pierre de FERMAT (XVIIème siècle) , le mathématicien « amateur » qui établira des théorèmes puissants sur les nombres premiers et laissera un problème qui résistera jusqu’en 1995 : le dernier théorème de FERMAT démontré par Andrew Wiles. Descartes le citera également abondamment.


Sur les trois ouvrages dont il est l’auteur, dont deux ont subsisté :
  1. les nombres polygonaux e
  2. les Arithmétiques.

Dans ce second ouvrage, il s’intéresse notamment aux équations du second degré. Mais il est encore empêtré dans les interdits grecs qui refusent de reconnaître l’existence de nombres négatifs ou de nombres irrationnels. En effet, le nombre étant l’image de la nature, il ne peut être négatif : quel serait sinon un panier contenant – 9 pommes ? Ou un carré d’une surface négative ?  Il ne peut pas non-plus être irrationnel, c’est-à-dire se présenter comme une suite infinie de chiffres sans logique. Pourtant les Pythagoriciens, même s’ils le cachent, viennent de découvrir l’irrationalité de √2, un nombre qui ne peut pas se mettre sous la forme d’un rapport comme 3/4 ou 1/2. Voilà qui est gênant lorsque l’on veut résoudre des équations du second degré qui, comme chacun sait, peuvent avoir des solutions négatives, irrationnelles, voire imaginaires !

pythagoreDiophante innove toutefois dans la façon de résoudre les équations. Pythagore, par exemple, pour démontrer son théorème, eut recours à la seule géométrie : le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. Un peu d’astuce, d’espièglerie, une bonne paire de ciseaux, et voilà un puzzle qui démontre en effet le théorème.

Les mathématiciens grecs portaient ainsi souvent le titre de géomètre.

Diophante utilise des méthodes numériques. Il est en cela sans doute le père de l’Algèbre, qui se distingue de l’arithmétique par l’introduction dans les équations d’une ou de plusieurs inconnues.

Autre innovation dans le monde grec sclérosé par les interdits : il ose dépasser la puissance de 3. On le sait, un carré représente une surface et un cube un volume. Une puissance de 4 n’avait alors aucun sens.

Les équations diophantiennes sont des équations à plusieurs inconnues, à coefficients entiers ou rationnels et dont les solutions sont entières ou rationnelles, comme par exemple :

x² + y ² = z², avec x, y et z entiers

Le dernier théorème de FERMAT démontré en 1995 en est aussi un exemple:

Il n’existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y, z vérifiant l’équation xn + yn = zn lorsque n est un entier strictement supérieur à 2. Pierre de FERMAT

David HILBERT, en 1900, a inscrit les équations diophantiennes dans sa liste des problèmes à résoudre pour le XXème sicèle : existe-t-il un algorithme universel permettant de décider si une équation diophantienne a une solution en nombre entiers ?

En 1970, Robinson et Matijasevic ont répondu par la négative.

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Joindre la conversation 2 commentaires

  1. […] Les Romains ne brillèrent guère dans l’art des mathématiques. Il fallait bien dire que leur système de notation des chiffres ne facilitait guère la discussion : essayez donc de multiplier MMCCXVII et MMMCXIC ! 472 signa la chute de l’empire devenu chrétien depuis la conversion de l’Empereur Constantin. Commença une période noire pour les mathématiques occidentaux. On préférait alors s’étriper autour de la question de la divinité du Christ ou de la Sainte Trinité plutôt qu’autour des équation de Diophante. […]

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  2. […] later, he discovered the mathematics in books and especially in the works of scholars Greek as Diophantus had developed methods of resolutions of equations with integer […]

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Autres histoires de mathématiques, Diophante d'Alexandrie, Les Grecs, Les mathématiciens, Mathématiques

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