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Zénon et le paradoxe d’Achille et de la tortue et les séries géomètriques

Zénon d’Élée a vécu au Vème siècle avant Jésus-Christ. Il est notamment connu pour ses paradoxes mathématiques. On connait peu sa vie. Les seules sources sont issues du Parménide de Platon et des écrits sur la Grèce pré-socratique de l’historien romain Diogène Laërce, .

Article de fond : brève histoire des mathématiques

L’un de ses paradoxes, le plus connu peut-être, concerne cette flèche qui n’atteint jamais sa cible : elle doit en effet toujours parcourir la moité du chemin qui lui reste. Si la distance à la cible est, par exemple de 100 mètres, la flèche devra parcourir 100/2 (la moitié) + 100/4 (le quart) + 100/8 (le huitième) + 100/16 (le seizième) + …. de la distance, et ainsi jusqu’à l’infini. Elle mettra donc une infinité de temps et n’atteindra donc jamais sa cible.

Le paradoxe d’Achille et de la tortue

Un autre paradoxe très connu met en scène Achille, le héros de la guerre de Troie, mort après avoir reçu une flèche (tirée par Paris) dans le talon.

Achille et une tortue vont faire une course. Et pour que le jeu soit équilibré, la tortue part avec 100 mètres d’avance. On suppose qu’Achille se déplace à 10 m/s. Achille met donc 10 secondes pour rejoindre le point de départ de l’animal. Pendant ces 10 secondes, la tortue aura, de son côté, avancé de 1 mètre (elle se déplace à 10 cm/s ou 0.1 m/s). Achille va mettre met un dixième de seconde pour rejoindre le nouveau point  de départ de la tortue situé à 1 mètre devant lui. Pendant ce temps, la tortue aura encore avancé de 10 cm et etc…

achille
Achille et sa tortue intrépide

Le temps qu’Achille met pour rattraper la fuyarde, aussi réduit soit-il, est mis à profit par celle-ci pour avancer. Achille ne rattrapera jamais la tortue ! Bien entendu, c’est faux. Mais pourquoi ?

Première étape

Pour parcourir les 100 premiers mètres, Achille mettra 100 mètres / 10 mètres par seconde, soient 10 secondes. La tortue aura pendant ce temps parcouru 10 secondes × 0.1 mètre par seconde, soit 1 petit mètre.

Deuxième étape

Pour franchir ce mètre, Achille aura ensuite besoin de 1/10 = 0.1 seconde. La tortue aura donc parcouru 0.1 × 0.1 = 0.01 mètre.

Les étapes suivantes

Achille aura successivement besoin de 10 secondes, puis de 0.1 seconde, puis de 0.001  seconde, puis 0.00001 seconde, puis 0.00000001 seconde,… Il n’y a pas en effet de raison pour que la suite s’arrête. Si on additionne toutes ces fractions de temps, on obtient un total de 10.10101010101010101…… secondes et etc.

Un peu de théorie

En mathématiques, le symbole grec sigma (∑) signifie « somme ». Le temps nécessaire à Achille peut donc s’écrire de la manière suivante :

  • 100/10 + 1 /10 + 0.01/10 + ….  ou, ce qui revient au même :
  • 10 +  10/100 + 10/10000 + 10/1000000, soit avec notre sigma :
  • ∑ 10/100n avec n qui varie de 0 à l’infini.

On reconnait (pour les spécialistes) une somme des termes d’une suite géométrique. Une suite géométrique (pour les non-spécialistes) est une série de nombres, comme 1  – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 … ; ou chaque nombre se déduit du précédent en le multipliant par un certain chiffre (ici 2). Dans notre exemple, 4 = 2 × 2, puis 8 = 4   × 2, puis 16 = 8 ×2…. On dit que cette suite admet comme premier terme 1 et comme raison 2. La théorie veut que la somme des termes d’une suite géométrique converge si :

  •  son premier terme est supérieur à 0 ;
  • et sa raison est inférieur à 1.

Le terme général de notre suite est

  • Un = 10/100n , on a donc
  • Un+1 = 10/100n+1et
  • Un+1 = 10/100 × 10/100n ,soit
  • Un+1 = 1/100  × Un

Le premier terme de la suite (10) est supérieur à 0 et la raison est inférieure à 1 (1/100). La somme des termes converge donc vers une valeur finie ce qui est rassurant pour Achille ! Le temps qu’il met pour rejoindre la tortue n’est pas infini.  La théorie donne même une manière de calculer cette valeur de convergence !

∑ 10/100n = 10-(1/100)n+1 / [1-1/100] = 10 / 0.99, car (1/100)n+1 tend vers 0 quand n tend vers l »infini.

La somme des termes d’une suite géométrique

En effet si on a une suite géométrique Uk de raison q et de premier terme a > 0 alors

  • Uk = a qk
  • et Sn = a ∑qk = a x [1-qn+1 / (1-q)]

Démonstration de la somme

  • Sn = a + aq + aq² + … + aqn ;
  • on peut multiplier des deux côtés par q et on obtient :
  • qSn =  aq + aq² + … + aqn + aqn+1
  • Sn – q×Sn = a – aqn+1
  • Sn = a (1–qn+1) / (1–q)

Démonstration de la convergence

Sn = a (1–qn+1) / (1–q)

  • si q < 1, alors Sn tend vers a / 1-q (qn+1 tend vers 0)
  • si q > 1, alors (qn+1 tend vers ∞) et donc Sn aussi.

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