achille2Zénon d’Élée a vécu au Vème siècle avant Jésus-Christ et est connu pour ses paradoxes mathématiques. On connait peu sa vie. Les seules sources sont le Parménide de Platon et surtout les écrits de l’historien romain de la Grèce pré-socratique Diogène Laërce.

L’un de ses paradoxes, le plus connus peut-être, concerne cette flèche qui n’atteint jamais sa cible, car devant toujours parcourir la moité du chemin qui lui reste. Si la distance à la cible est, par exemple de 100 mètres, la flèche devra parcourir 100/2 (la moitié) + 100/4 (le quart) + 100/8 (le huitième) + 100/16 (le seizième) + …. de la distance, et ainsi jusqu’à l’infini. Elle mettra donc une infinité de temps.

Le paradoxe d’Achille et de la tortue


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Aujourd’hui, nous allons examiner un autre paradoxe, celui d’Achille, le héros de la guerre de Troie mort après avoir reçu une flèche dans le talon, et de la Tortue.

La tortue part avec 100 mètres d’avance. Achille part au même moment. IL met quelques secondes (10) pour rattraper l’animal. Pendant ces « quelques secondes », la tortue aura avancé de 5 mètres. Achille met encore quelques dixième de secondes (0.1) pour rattraper la tortue. Cette dernière aura encore avancé.

achille

Achille et sa tortue intrépide

Et ainsi de suite. Le temps qu’Achille met pour rattraper la fuyarde, aussi réduit soit-il, est mis à profit par celle-ci pour avancer. Et Achille ne rattrapera jamais l’intrépide ! FAUX ! Mais pourquoi ?

Admettons que le guerrier court à 10 mètres par seconde. La tortue, même si je ne suis pas un spécialiste, va a priori moins vite. Disons 0.1 mètre par seconde.

Première étape

Pour parcourir les 100 premiers mètres, Achille mettra 100 mètres / 10 mètres par seconde, soient 10 secondes. La tortue aura pendant ce temps parcouru 10 secondes × 0.1 mètre par seconde, soit 1 petit mètre.

Deuxième étape

Pour franchir ce mètre, Achille aura ensuite besoin de 1/10 = 0.1 seconde. La tortue aura donc parcouru 0.1 × 0.1 = 0.01 mètre.

Les étapes suivantes

Achille aura successivement besoin de 10 secondes, puis de 0.1 seconde, puis de 0.001  seconde, puis 0.00001 seconde, puis 0.00000001 seconde,… Il n’y a pas en effet de raison pour que la suite s’arrête. Si on additionne toutes ces fractions de temps, on obtient un total de 10.10101010101010101…… secondes et etc.

Un peu de théorie

En mathématiques, le symbole grec sigma (∑) signifie « somme ». Le temps nécessaire à Achille peut donc s’écrire de la manière suivante :

  • 100/10 + 1 /10 + 0.01/10 + ….  ou, ce qui revient au même :
  • 10 +  10/100 + 10/10000 + 10/1000000, soit avec notre sigma :
  • ∑ 10/100n avec n qui varie de 0 à l’infini.

On reconnait (pour les spécialistes) un somme des termes d’une suite géométrique. Une suite géométrique (pour les non-spécialistes) est une série de nombres, comme 1  – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 … ; ou chaque nombre se déduit du précédent en le multipliant par un certain chiffre (ici 2). Dans notre exemple, 4 = 2 × 2, puis 8 = 4   × 2, puis 16 = 8 ×2…. On dit que cette suite admet comme premier terme 1 et comme raison 2.

La théorie veut que la somme des termes d’une suite géométrique converge si

  • son premier terme est supérieur à 0 ;
  • et sa raison est inférieur à 1.

Le terme général de notre suite est

  • Un = 10/100n , on a donc
  • Un+1 = 10/100n+1et
  • Un+1 = 10/100 × 10/100n ,soit
  • Un+1 = 1/100  × Un

Le premier terme de la suite (10) est supérieur à 0 et la raison est inférieure à 1 (1/100). La somme des termes converge donc vers une valeur finie ce qui est rassurant pour notre Achille !

La théorie donne même une manière de calculer cette valeur de convergence !

∑ 10/100n = 10-(1/100)n+1 / [1-1/100] = 10 / 0.99, car (1/100)n+1 tend vers 0 quand n tend vers l »infini.

La somme des termes d’une suite géométrique

En effet si on a une suite géométrique Uk de raison q et de premier terme a >0 alors

  • Uk = a qk
  • et Sn = a ∑qk = 1-qn+1 / (1-q)

Démonstration de la somme

  • Sn = a + aq + aq² + … + aqn ; on peut multiplier des deux côtés par q et on obtient :
  • qSn =  aq + aq² + … + aqn + aqn+1
  • Sn – q×Sn = a – aqn+1
  • Sn = a (1–qn+1) / (1–q)

Démonstration de la convergence

Sn = a (1–qn+1) / (1–q)

  • si q < 1, alors tend vers a / 1-q (qn+1 tend vers 0)
  • si q > 1, alors (qn+1 tend vers ∞) et donc Sn aussi.

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Joindre la conversation 3 commentaires

  1. […] infiniment petites donnât un résultat fini ? Finalement, on était revenu aux questionnements de Xénon qui, dans ces différents paradoxes, posait déjà la question. Le plus célèbre fut celui de […]

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