Mathématiques

Cauchy et le Théorème des résidus

résidus

Cauchy et le théorème du résidus pour calculer les intégrales complexes.

Soit un domaine D jaune à l’intérieur d’un plan complexe bleu et un lacet L rouge (courbe fermée sur elle-même) qui suit le contour de D.

A l’intérieur de D existent deux points (deux pôles) Z1et Z2 pour lesquels la fonction f(z) explose. On a alors :

Résidus [f(z) en Z1)] = 1  /  [2∏i]  ∫ f(z) dz

avec l’intégrale curviligne centrée sur Z1

Un exemple

  • f(z) = e3ix dz / (z-i)
  • on voit que f a pour pôle i
  • donc e3ix dx / (x-i) = 2Πi (résidus de f(z) en i)
  • Résidu = lim quand z tend vers i de (z-i) e3ix / (z-i)
  • Résidu = lim quand z tend vers i de e3ix = e-3
  • f(z) = e3ix dz / (z-i) = 2Πi x e-3
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