Ian STEWART, dans un ouvrage de vulgarisation, nous propose une histoire des mathématiques jalonnée des 17 équations qui selon lui ont changé le monde.  Stewart nous emmène à la rencontre des mathématiciens babyloniens, grecs, avant de revenir en Europe où se sont développés les mathématiques modernes.

Les 17 équations qui ont changé le monde selon  Ian STEWART

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17 équations qui ont changé le monde de Ian Stewart

1) Le théorème de Pythagore

500 avant JC, Pythagore retrouve l’équation esquissée 1000 ans plus tôt par les mathématiciens babyloniens. Que nous dit-elle ? Le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Mais elle nous dit aussi, qu’à notre échelle, l’Univers est plat. Dans cette fraction d’Univers, la somme des angles du triangle vaut 180° et deux droites parallèles ne se coupent jamais.

Bien plus tard, d’autres mathématiciens construiront une autre géométrie, dite « non-euclidienne », où les droites parallèles peuvent se couper. Mais c’est une autre histoire.

Le théorème de Pythagore inaugure la trigonométrie, étymologiquement « la mesure des angles dans le triangle », essentielle pendant deux millénaires à la navigation.

Pythagore et la trigonométrie

tri4Dans le cercle de rayon 1, le triangle rectangle peut être inscrit : les deux côtés sont respectivement le cosinus et le sinus et l’hypoténuse est le rayon du cercle.

On retrouve alors le théorème de Pythagore puisque cosinus² + sinus² = rayon² = 1
Thalès vient compléter Pythagore puisque tangente /sinus = rayon / cosinus ou tangente = sinus/cosinus.

2) Les logarithmes de John Napier

John Napier était un astronome agacé par les calculs pharaoniques. Il eut l’idée de remplacer la multiplication par l’addition. Il inventa la fonction logarithme qui vérifiait :  log (a x b) = log a + log b. Elle aura une postérité bien au-delà du seul champ de l’astronomie. Kepler, Galilée s’en serviront pour calculer les ellipses des orbites planétaires.

Avant l’avènement des ordinateurs, la règle à calcul fondée sur les logarithmes était l’outil indispensable des géomètres et des ingénieurs.

Mais le logarithme n’a pas perdu pour autant son importance : de nombreuses lois physiques suivent une fonction logarithmique ou exponentielle (qui est sa réciproque).

3) Le calcul de l’infinitésimal de Newton (qu’il doit à Fermat, qui le doit à Archimède)

fermat

Pierre de FERMAT

Lorsqu’un objet se déplace (par exemple un boulet de canon), sa vitesse varie à chaque instant. Elle est nulle (avant le coup de feu), passe par un maximum, puis redevient nulle en fin de parcours.

Newton mit en place le calcul infinitésimal pour déterminer, à chaque instant, la vitesse de cet objet, tout au long de son parcours.

La vitesse moyenne

La vitesse moyenne (par exemple du boulet) est égale à la distance D qu’il a parcourue, divisée par le temps T nécessaire au parcours : V moyenne  = D / T.

La vitesse instantanée

La vitesse v  instantanée, quant à elle, varie tout au long du parcours. A chaque instant, elle est égale :

  • au petit déplacement (dx) du boulet ;
  • divisé par la fraction de temps (dt) nécessaire pour parcourir ce petit déplacement dx

v = dx/dt.

On dit que la vitesse v est la dérivée de la position par rapport au temps. Là aussi une postérité immense sera offerte à l’invention de Newton, découverte d’ailleurs avant-lui par un mathématicien français : Pierre de Fermat (calcul des tangentes), qui lui-même s’était inspiré des travaux d’ Archimède (méthode d’exhaustion).

Leibniz aussi disputera la paternité de cette outil mathématique, pilier de l’analyse.

4) La gravité de Newton

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Isaac NEWTON

La légende veut que Newton eut l’idée de la gravité en recevant une pomme sur la tête. Une force qui agit à distance ! Inconcevable au XVIIème siècle. Pour contourner cette hypothèse, les savants  inventèrent l’éther, une substance invisible qui remplirait le vide et qui permettrait, par exemple, à la lune de rester accrochée à la terre.

Pour Newton, plus les masses sont importantes, plus la force de gravité qui les attire mutuellement est puissante. Le soleil ainsi attire des planètes aussi lointaine que Pluton ou Uranus.

Newton, qui restait profondément croyant, le disait lui-même :  » je constate la gravité, je peux montrer comment elle fonctionne, l’enfermer dans une équation, mais je ne peux pas l’expliquer pas ; je ne peux donner aucun élément quant à son origine. » Il faudra attendre Einstein pour en savoir plus.

5) i : la racine carrée de -1 de Bombelli

On doit à Giordano CARDANO (Jérôme CARDAN) les premières tentatives, au XVIème siècle, de résolution des équations du troisième degré. En voulant aller plus loin, Raphaëllo BOMBELLI introduisit un nombre imaginaire dont le carré vallait -1. Le terme « i » (comme imaginaire) pour le désigner fut donné par Euler. A l’équation x² = -4, on pouvait dès lors répondre x = 2i. Il s’agissait donc de l’invention d’une nouvelle sorte de nombres : les nombres dits « complexes », aujourd’hui utilisés de manière courante notamment en physique, en électricité ou en traitement du signal.

6) La formule d’Euler sur les polyèdres

euler2

Euler

Un cube a 6 faces, 12 arrêtes et 8 sommets. Que nous dit la formule d’Euler ? Que si vous ajoutez les faces et les sommets et que cous retranchez les arrêtes, vous obtenez 2 : 6 + 8 -12 = 2. C’est vrai pour le cube mais aussi pour tous les polyèdres, quelque soit le nombre de faces.   Il s’agit de ce qu’on appelle en topologie (l’étude des lieux) d’un invariant.

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dodécaèdre

Ce sera Poincaré qui, deux-cents ans plus tard, donnera ses lettre des noblesse à cette branche majeure des mathématiques.

La topologie s’intéresse aux propriétés des objets  qui sont invariants, donc qui ne changent pas, quand l’objet est déformé continûment. Il s’agit de définir des classes d’objets équivalents : par exemple un ballon de foot et un ballon de rugby sont topologiquement équivalents : vous pouvez passer de l’un à l’autre en les étirant ou en les comprimant, sans avoir recours à un ciseau ou une perceuse. En revanche, si on voulait en faire une bouée, il faudrait faire un trou au centre. La bouée ne fait donc pas partie de cette classe de solides.

7) La loi normale de Carl Friedrich GAUSS

Résultat de recherche d'images pour "flèche cible"Si vous visez suffisamment de fois une cible (100 fois par exemple), la répartition de vos flèches autour du 1000 suivra une loi particulière : la loi normale que l’on doit à Gauss.
Vous pouvez répéter l’exercice autant de fois que vous voulez, la distribution restera normale (sauf s’il y a un biais, comme un vent latéral ou un strabisme évident du tireur).
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La loi normale centrée réduite

La majorité de vos flèches se situeront vers le centre puis elles deviendront plus rares en s’en éloignant. C’est ce que montre la courbe en cloche ci-contre empruntée ici.
68 % des flèches seront à moins d’un écart type. 95.44 % à deux écarts types et 99.74 % à trois écarts types. Meilleur sera le tireur, plus petit l’écart type sera : la courbe prendra la forme d’une pointe resserrée. Pour les mauvais tireurs, la courbe aura tendance à s’aplatir.
Cette loi Noramle de Gauss met le hasard (le pseudo-hasard en fait) en équation.

8) L’Équation d’onde de d’Alembert

Afficher l'image d'origineL’encyclopédiste Jean Le Rond d’Alembert a mis en équation la vibration d’une corde, par exemple d’une corde de guitare.

La résolution de cette équation dite « différentielle » a ensuite été élargie à tous les phénomènes vibratoires, ou ondulatoires, comme une l’ondulation d’une vaguelette sur un étang, ou le mouvement d’un ressort.

Schrödinger l’utilisera dans le domaine de l’infiniment petit lorsqu’il établira sa fonction d’onde qui décrit la trajectoire d’un électron autour de son atome.

9) Transformée de Fourier

Fourrier fut l’inventeur de la physique moderne. Participant à la campagne d’Égypte, il fut nommé Baron par Napoléon et fut élu à l’académie des sciences.

signal

Un signal périodique mais compliqué – décomposable en séries de Fourrier

Un signal, ça peut être très compliqué : une voix ou un instrument envoyés sur un oscilloscope donnent un graphe du type de la photo ci-dessus : un fouillis de pics impossible à étudier.  Mais on peut remarquer une certaine périodicité : des motifs reviennent à intervalles réguliers. Il s’agit en fait de la superposition de plusieurs signaux, les uns ayant des faibles amplitudes, les autres de plus fortes.

Fourrier eut alors l’intuition d’isoler tous ces signaux. Sa transformée permet ce miracle : isoler tous les signaux et écrire le signal complet sous la forme d’une somme de tous ces signaux singuliers. Aujourd’hui, sa transformée est indispensable à tous les élcroniciens du monde.

10) Équation de Navier-Stokes:

Résultat de recherche d'images pour "essai soufflerie avions"

Essai en soufflerie

Malgré son omniprésence lorsqu’il s’agit d’étudier le comportement des fluides, par exemple le mouvement des nuages, de l’air autour d’une aile d’avion ou du sang dans nos veines, elle se distingue pas sa discrétion. Tour le monde connait E = mc², mais qui connait la non-moins utile équation de Navier (le Français) et Stokes (l’Anglais) ?

En gros, elle nous dit que l’accélération subit par un fluide (ou un gaz) est égale à la somme des forces (de pression et de viscosité) exercées sur ce dernier. On a donc une équation pour connaitre les mouvements de l’atmosphère. Alors pourquoi les météorologues se plantent-ils tous les jours ? Eh bien parce que l’on ne sait pas résoudre l’équation de Navier-Strokes. La fondation Clay a promis un million de dollars à qui trouvera la solution.

11) Les équations de Maxwell

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On pense aujourd’hui que l’univers est régi par quatre forces dites fondamentales

1. La force nucléaire forte

Elle est la colle du noyau des atomes, assurant un lien entre les protons et les neutrons, mais aussi entre les 3 objets qui constituent ces même protons et neutrons : les quarks. Elle est puissante mais agit à très faible distance.

2. La force nucléaire faible

Elle est responsable de la radioactivité. Elle pousse les neutrons ou les protons à se désintégrer. Elle aussi n’agit qu’à très courte distance.

3. La force électromagnétique

Elle pousse les particules chargées à s’attirer (s’ils sont de signes inverses) ou à se repousser (s’ils sont du même signe). Elle assure la cohésion de l’atome : les électrons chargés négativement sont attachés au noyau hargé positivement grâce à ses protons. Elle permet aussi la construction des molécules (H2O par exemple) : les atomes se combinent en partageant leurs électrons.

4. La force gravitationnelle :

On doit à Newton sa découverte. Elle agit sur de longues distances et sur de grandes masses. Elle lie ainsi la terre au soleil et la terre à la lune mais aussi les hommes au plancher des vaches.

Depuis que l’on connait ces quatre forces, tous les physiciens du monde cherchent, par tous les moyens, à les relier dans une seule et même équation.

Maxwell fit ainsi un premier pas en reliant l’électricité et le magnétisme.

12) La deuxième loi de la thermodynamique de Ludwig Boltzmann

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L’entropie a augmenté

L’entropie (S) mesure un désordre. Si on laisse un système (une chambre à coucher par exemple) vivre sa vie, il va naturellement aller vers plus de désordre : on retrouvera une chaussette ici, un livre là et des chaussons encore ailleurs. Son entropie va donc augmenter. C’est ce que traduit l’équation de Boltzmann.

Par ailleurs, le phénomène est irréversible. Si vous mettez du lait dans votre thé, les molécules vont se mélanger jusqu’à obtenir un mélange désordonné de molécules de lait et de thé mêlées.  Il est très rare de voir ensuite le lait et le thé se séparer de nouveau, bien que la probabilité ne soit pas nulle.

L’Univers ayant lui-aussi une entropie qui augmente, il achèvera sa vie dans un désordre le plus total, une sorte de froid éternel où la lumière dispara^tra.

13) La théorie de la relativité d’Einstein

Einstein s’est attaqué à l’une des quatre forces fondamentales précédemment décrites : la gravité. On se souvient des difficultés rencontrées au temps de Newton pour accepter les forces à distance. Einstein va proposer une solution : le vide n’est pas vide. Il est constitué d’espace et de temps intimement liés et qui peuvent se déformer.  C’est cette déformation qui explique la gravité, comme si la lune tombait dans le trou que la terre creuserait dans l’espace temps.

E = mc² traduit une équivalence entre la masse et l’énergie. Lorsque la masse d’un objet est nul (c’est le cas du photon par exemple), sa vitesse devient égale à c (vitesse de la lumière) mais jamais plus, n’en déplaise à Han solo.

14) L’équation de Schrödinger

La gravité explique le fonctionnement terre-lune ou terre-soleil. L’équation de Schrödinger fait la même chose mais pour le couple noyau-électron de l’atome. C’est une fonction d’onde qui donne la probabilité de présence d’un électron dans une certaine région autour du noyau.

15) La théorie de l’information de Claude Shannon

Shannon a mis en équation l’information. Son Entropie mesure l’incertitude sur le contenu d’un message transmis par un émetteur.

16) La théorie du Chaos

Pierre-Simon de Laplace, en 1812, que si, avait dit à l’Empereur que si on connaissait la position et la vitesse de tous les objets de l’Univers et les forces qui s’exercent sur eux, alors on pourrait en déduire par calcul leur évolution et donc prédire l’avenir ! C’est ce que l’on appelle du déterminisme.

La théorie du chaos mit en évidence l’importance des conditions initiales: si on place un cône sur sa pointe, il va tomber d’un côté ou de l’autre. Au hasard ? Non. Si tout était parfait, s’il n’y avait aucun défaut dans sa structure, s’il était parfaitement symétrique, il ne tomberait pas du tout. Mais voilà. dans notre monde perfectible, les petits défauts sont légion. Le cône va donc tomber. C’est seulement parce qu’il est impossible de connaitre tous ces petits défauts (ces conditions initiales) que toute prédiction est impossible. De même, la boule de la roulette ne se fixe pas au hasard sur un chiffre : elle suit les lois de la mécanique. C’est parce qu’on ne connait pas avec suffisamment de précision la vitesse du lancer, les frottements sur la table de jeu que la roulette semble être un jeu de hasard.

17) L’équation de Black-Scholes

La martingale pour gagner à tous les coups sur les marchés financiers.


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