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Né avant la première révolution (1768) et mort lors de la seconde (1830), Joseph Fourier, évita de peu l’épiscopat pour de venir physicien. Bien lui en a pris ,car il mit en place un outil mathématique majeur, retenu par Ian STEWART dans son inventaire des 17 formules qui ont changé le monde : la transformée de Fourrier.

FOURRIER – une biographie


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Il eut parmi ses professeurs les plus grands noms des mathématiques françaises : Lagrange, Laplace ou Monge. On lui doit le fameux symbole ∑ qui symbolise, toujours aujourd’hui, une somme. Il fut aussi l’un des soutien indestructible à Sophie GERMAIN, l’une des seules femmes du monde des sciences du XVIIème siècle.

D’abord développées par ses soins dans le cadre de ses travaux sur la diffusion de la chaleur, les séries et transformées qui porteront son nom vont ensuite envahir toutes les branches de la physique.

Son idée

Un signal périodique, par exemple la vibration d’une corde de guitare envoyée sur un oscilloscope, est souvent compliqué. Il est le résultat de multiples signaux élémentaires.

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la somme de signaux élémentaires donnent un signal compliqué – la transformée de Fourrier permet de retrouver ces signaux élémentaires

Fourrier a alors proposé de développer un outil capable de retrouver dans cette forêt de pics ces fameux  signaux élémentaires, plus simples et de les exprimer  sous la forme d’une somme de cosinus et de sinus :

  • f(x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x…. + an cos nx + bn sin nx.
  • ou f(x) = ∑ an cos nx + bn sin nx (pour n allant de 0 à l’infini.)

[avec ∫ de – ∏  à ∏ ]

  • a0 = 1/2∏  ∫  f(x) dx
  • an = 1/∏  ∫  f(x) cos nx dx
  • bn = 1/∏  ∫  f(x) sin nx dx

un exemple : la fonction très simple f(x) = x qui est la diagonale

on a [avec ∫ de – ∏  à ∏ ] :

  • a0 = 1/2∏  ∫  f(x)  dx
  • a0 = 1/2∏  ∫ x  dx
  • a0 = 1/2∏  [x²/2]
  • a0 = 0

et [avec ∫ de – ∏  à ∏ ]

  • an = 1/∏  ∫  f(x) cos nx dx
  • an = 1/∏  ∫  x cos nx dx
  • an = 1/∏  [sin nx/n] – 1/ ∏ [cos nx/n²]
  • an =0

avec une méthode similaire, on, obtient

  • bn = -2/n (-1)n

donc f(x) = x = 2 sin x – sin 2x + 2/3 in 3x ….

Plus on ajoute de termes, plus le résultat sera proche de notre diagonale !


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Joindre la conversation 1 commentaire

  1. […] anglais les a décrits de manière rigoureuse. Ce n’est donc pas un hasard si Ian STEWART a retenu ces deux découvertes majeures  dans la liste des 17 équations qui ont changé le […]

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