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Pierre de FERMAT

Pierre de FERMAT

1600. Nous sommes encore sous le règne du bon roi Henri IV. Celui qui s’est fait catholique pour monter sur le trône de la plus chrétienne des nations européennes, vient de réussir à éteindre, pour un temps, les braises des guerres de religions qui ont ensanglanté la France.

L’édit de Nantes est enregistré dans tous les tribunaux de France et de Navarre.

Biographie de Pierre de FERMAT

Pierre de Fermat est né à Toulouse en 1601, peu après l’éclosion du  siècle, et donc très loin des moteurs de la pensée mathématiques qui agitent les capitales européennes. C’est le droit qui l’attire en premier lieu. Il devient magistrat. Pourtant, son intérêt pour les mathématiques se fait pressant. Comme Newton, quelques années plus tard, il découvrit les mathématiques dans les livres et notamment dans les œuvres des savants grecs comme Diophante d’Alexandrie qui avait développé des méthodes de résolutions d’équations à coefficients entiers.

Les équations diophantiennes

Fermat décida d’approfondir cette branche des mathématiques : les équations diophantiennes. Il démontra le théorème, connu aujourd’hui sous le nom de « petit  théorème de Fermat », :

Si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors

a p–1 – 1 est un multiple de p.

Pierre de FERMAT

Mais il est surtout connu pour son dernier théorème ou « grand théorème de Fermat », qu’il a énoncé mais, semble-t-il malgré les annotation contraires qu’il a laissées, jamais démontré :

Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

xn + yn = zn,

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

Pierre de FERMAT

En effet, pour n=2, on retombe sur le théorème de Pythagore. Il faudra attendre 1994 pour que Andrew Wiles en apporte la démonstration.

Les prémices du calcul différentiel.

Il est évident que ni Newton, ni Leibniz sont les inventeurs du calcul différentiel. Archimède avant eux (méthode d’exhaustion) et surtout Pierre de FERMAT (méthode des tangentes) en avaient jeté les bases.

tangeante

Pour Pierre de FERMAT, il s’agissait de donner l’équation d’une tangente (ou au moins son coefficient directeur) en n’importe quel point d’une courbe.

Par exemple au point A (5,-3) appartenant à la parabole d’équation y = x²-8x+12.

Comment faire ?

Fermat définit :

  • un premier point A [a, f(a)] et
  • un second point A’ [a+h, f(a+h)], pas très éloigné (de h sur l’axe des abscisses).
tangeantefermat2

la méthode des tangentes de Fermat

La pente de la droite A-A’ est  :

  • [f(a+h) – f(a)]   / [(a+h)-a]

= [f(a+h) – f(a)]   / h

Si on rapproche ensuite A’ de A, h va diminuer. Si on fait tendre h vers 0 :

  • A’ va se confondre avec A et
  • [f(a+h) – f(a)] / h sera le coefficient directeur de la fameuse tangente en A.

Fermat prit par exemple la courbe y = f(x) = x² qui est l’expression de la plus simple des paraboles, celle qui passe par l’origine. Il reprend ses notes et écrit le coefficient directeur de la tangente en A [a, f(a)] :

  • [f(a+h) – f(a)]   / [( a+h)-a]
  • = (a+h)² – a² / h
  • = a² + 2ah + h² – a² / h
  • = 2ah + h² / h
  • = 2a + h

Il fait ensuite comme promis tendre h vers 0. Il ne lui reste plus que 2a. Il en déduit que le coefficient directeur de la tangente en A [a, f(a)] de la courbe f(a) = a² est 2a.

A l’origine O (0,0), on constate que la parabole change de pente. Elle est négative à droite et positive à gauche. Le coefficient directeur est de 2 x 0 = 0. La tangente est donc horizontale.

Il s’agit, même si le terme n’existe pas encore, de la dérivée de la fonction f(x) = x² qui sera (re)découverte par Newton sous la forme de ses fluxions.


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CATÉGORIE

Les mathématiciens, Mathématiques