F – A + S = 2. Qu’a voulu dire Euler avec cette formule énigmatique ?  Les nombres de faces, d’arêtes et de sommets d’un solide sont liés : ils ne sont pas indépendants. Cette formule va donner naissance au XIXème siècle à une nouvelle branche des mathématiques : la topologie.

Descartes, déjà au XVIIème siècle,  avait travaillé sur les cinq polyèdres réguliers d’Euclide.

5 poly

Les Polyèdres d’Euclide

L’histoire de la Topologie


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Il avait identifié cette fameuse relation mais s’était abstenu de publier ce résultat ce qui la plongera dans l’obscurité pour deux siècles.

Ce fut Euler, comme toujours, qui débloqua la situation en apportant enfin la démonstration.

Euler résolut ce qui est considéré comme le premier problème topologique : la promenade sur les 7 ponts de Königsberg.

konigsberg

Les 7 ponts de Königsberg

Est-il possible d’organiser cette promenade en empruntant chaque pont une seule fois et en revenant au point de départ ?

Euler démontra que c’est impossible.

Comme dira Ian Stewart, la topologie est la géométrie du caoutchouc : deux formes dessinées sur une feuille élastique sont équivalentes, si on peut passer de l’une à l’autre en étirant la feuille, en la tordant, en la comprimant, peu importe dans quel sens. Il est seulement interdit d’y faire des trous ou de la déchirer. Seule compte la continuité.

Ainsi, le passage d’un cube à une sphère peut se faire sagement, dans la continuité, par « homotopie ».

Afficher l'image d'origine

Pour toute ces formes équivalentes, la formule des Descartes-Euler reste vraie. Il s’agit donc d’un invariant topologique qui permet de regrouper des formes par classe.

En revanche, pour passer de la sphère au tore, le recours à la perceuse semble obligatoire.Afficher l'image d'origine

Le tore est cette forme particulière présentant un trou en son centre. Il ne respecte plus la formule d’Euler, ou plutôt, il en respecte une autre :

F – A + S = 0

Le tore est donc équivalent à la tasse de café qui possède aussi un troutasse.

Une forme peut avoir plusieurs trous.  Dans ce cas, l’invariant sera encore différent. En fait, si on a g trous, la formule devient :

F – A + S = 2-2g

(g pour « genre »)

Et voici un objet tout à fait particulier : une seule face et un seul côté ! C’est le ruban de Möbius. Si vous posez votre index sur le ruban et que vous faites glissez votre doigt, vous reviendrez à votre point de départ n parcourant l’ensemble de la surface. De même si vous posez votre index sur une arrête.

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Le ruban de Möbius

 

 

 


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