Depuis les Grecs, on pensait que le monde était « euclidien ». Le 5ème axiome des Éléments d’Euclide, celui des « parallèles », l’énonçait clairement : par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. Tout ce qu’il y a de plus évident.

Mais est-ce vrai dans tous les cas ? C’est en cherchant, par l’absurde à le démontrer, que trois mathématiciens (Lobachevsky, Bolyai et Gauss) ont mis en place les éléments d’une nouvelle géométrie dite non-euclidienne ou hyperbolique, dans laquelle plusieurs droites peuvent passer par ce point, le théorème de Pythagore est faux et la somme des angles du triangle ne fait pas 180 °.

Mais laissons Poincaré nous décrire ce monde nouveau, un monde « hyperbolique », un monde délimité par un cercle dont on atteint jamais le bord…

« Supposons un monde enfermé dans un grand cercle, soumis aux lois suivantes :

  1. La température n’y est pas uniforme ; elle est maximum au centre et elle diminue à mesure qu’on s’en éloigne, pour atteindre le zéro absolu au bord du cercle ;

  2. Tous les corps ont le même coefficient de dilatation : la longueur d’une règle quelconque est proportionnelle à sa température.
disque

Le disque de POINCARÉ

Rien dans ces hypothèses n’est contradictoire ou inimaginable. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit à mesure e qu’il se rapproche du bord du cercle.

Vu de l’extérieur, ce monde paraît limité (par le bord du cercle).

Pourtant, les êtres qui l’habitent le voient infini : Quand ils tentent de se rapprocher du bord, ils se refroidissent et deviennent donc de plus en plus petits. Les pas qu’ils font sont aussi de plus en plus petits, de sorte qu’ils ne peuvent jamais atteindre le bord.

Par ailleurs, ils ne perçoivent pas leur rétrécissement, car la règle qu’ils emportent pour se mesurer diminue elle aussi et dans les mêmes proportions !

Qu’on me permette pour abréger, d’appeler un pareil mouvement un déplacement non-euclidien. Ainsi des êtres comme nous, dont l’éducation se ferait dans un pareil monde, n’auraient pas la même géométrie que nous. Si ces êtres imaginaires fondent une géométrie, elle sera non-euclidienne. « 

poicaréDans ce monde, les lignes droites (le plus court chemin entre deux points) sont perpendiculaires au bord du cercle (il vaut mieux pour aller plus vite faire des grands pas et donc se rapprocher du centre). Elles sont, pour les habitants, infinies, comme on, l’a vu.

La droite qui passe par C et D est parallèle à la droite UV (qui passe par A et B), puisqu’elle ne la coupe pas. De même, la droite qui passe par C et E. deux droites sont donc parallèles à une même troisième et pourtant, elles sont distinctes !

Le crépuscule du 5ème axiome

La morale de cette petite histoire de Poincaré est qu’on peut très bien envisager beaucoup de mondes extrêmement raisonnables, chacun ayant sa géométrie, chacun ayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter une vision de notre monde concret. Dans ce monde étrange, Euclide doit revoir son 5ème axiome.

Il existe donc un infinité de géométries. Euclide, avec son 5ème axiome, en a décrit une, une géométrie plane, qui décrit correctement notre monde quotidien. Pour comprendre l’Univers, en revanche, d’autres géométries seront nécessaires. Et elles seront très probablement hyperboliques.

« Une géométrie ne peut être plus vraie qu’une autre, elle peut simplement être plus commode. » POINCARE

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