20170117_090335« Ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible. » Einstein

En effet. Et pour le comprendre, il n’y a pas de meilleur outil que les mathématiques. Car les mathématiques sont partout, dans le dessin de la spirale d’une galaxie, le vol du bourdon, le dessin d’une ruche, la trajectoire d’une pomme tombant sur la tête des savants…

Connaitre les Mathématiques, c’est levé partiellement le voile sur le mystère de l’Univers.

Brève histoire des mathématiques

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L’école d’Athènes par Raphaël – Au centre, Platon (avec son Timée) montrant de l’index le monde des idées et Aristote, le monde sensible – A gauche, Pythagore écrivant un théorème, Épicure coiffé de lauriers, Parménide recopiant Pythagore et Socrate derrière Parménide  –  Assis sur la dernière marche, Héraclite, plus haut Diogène de Sinope – à Droite Euclide, penché sur un compas et Ptolémée de dos en toge jaune et bleu

Petite histoire des mathématiques

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Paraboles des Arches

Si nous rencontrions un jour une civilisation extra-terrestre, nous ne pourrions pas communiquer avec de simples mots sortis de notre dictionnaire. Les mathématiques seraient notre meilleur et seul atout. Car deux et deux font quatre. Ici comme sur Andromède ou des les profondeurs de l’Univers.

On peut vivre sans connaître la Critique de la raison pure d’Emmanuel Kant, une sonate de Bach ou le dernier Stallone ; mais il nous manquerait quelque chose si nous passions à côté des mathématiques. Car ils sont le langage dans lequel la nature a été écrite. Pour les Grecs, comme Pythagore, ils étaient même la nature.

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Spirale de Fibonacci dans la fleur de tournesol

Cette modeste histoire des mathématiques permettra, je l’espère, de vous faire redécouvrir ce joyau que sont les mathématiques à travers les grandes figures qui ont levé le voile sur leur nature.

Peut-être suscitera-telle  quelques vocations ? Dans ce cas là, elle aura atteint son objectif.

Mais, comme la flèche de Xénon qui n’atteint jamais sa cible, l’apprenti mathématicien doit savoir qu’il se lancera dans une quête infinie, se jettera dans un océan sans fond, vers un horizon inatteignable. Car les mathématiques ne seront jamais achevés. Kurt Gödel au XXème siècle l’a démontré : il existera toujours des propositions vraies, comme 1 + 1= 2, qui resteront à jamais indémontrables. C’est comme ça. Il faudrait être à l’extérieur de l’Univers pour avoir une chance de tout démontrer. Et le seul susceptible de s’aventurer à l’extérieur, c’est Dieu (s’il existe). Bonne chance à tous et pour commencer, bonne lecture.

Petite histoire des mathématiques

Le paléolithique

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Encoches sur un bois de renne

Dans les sites archéologiques les plus anciens, il y a 20 000 ans, sont apparus les premiers signes d’une comptabilité réfléchie. Des encoches sur du bois témoignent de la première activité mathématique : ces premiers hommes furent, pour la première fois, capables d’abstraction, c’est-à-dire de représenter un objet ou un animal par une encoche, un symbole.

Cette invention leur permit de compter et garder la mémoire. La gestion d’un stock devint possible, mais aussi le commerce avec des tribus voisines.

Petite histoire des mathématiques

La  Mésopotamie et la vallée de l’Indus de -5000 à -2000

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Tablette d’argile avec l’écriture cunéiforme

Si l’Afrique fut le berceau de l’homme, la Mésopotamie fut celui de sa civilisation. Les premières villes, comme Ur ou Akkad, l’agriculture, la roue, la première administration sont nées ici, entre le Tibre et l’Euphrate, il y a 9000 ans environ.

On connaît fort bien son histoire à travers les milliers de tablettes d’argile découvertes, sur les sites des anciennes cités-Etats, comme Sumer ou l’ancienne Babylone.

La majeure partie de ces tablettes sont des livres de comptes, sans grand intérêt pour l’historien.

Mais elles montrent que la civilisation et les mathématiques ont progressé ensemble. Une administration digne de ce nom ne peut pas se passer de mathématiciens.

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la Mésopotamie dite « croissant fertile »

Petite histoire des mathématiques

4500 à 2000 avant Jésus-Christ – SUMER – l’apparition de l’addition et la multiplication

Les premières opérations simples, comme l’addition et la multiplication, figurent sur ces tablettes d’argile dès le cinquième millénaire avant Jésus-Christ; les premières traces d’écriture, quant à elle, font leur apparition plus tard, vers 3300 avant Jésus-Christ. L’apparition de l’écriture marque la transition entre la préhistoire et l’histoire.

Les Sumériens travaillaient en base 60. Cette base est toujours utilisée : 60 secondes comme chacun sait font, comme chez les Sumériens, une minute.

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Diagonale du carré et racine de 2

Les Sumériens connaissaient des notions avancées comme le carré et le cube et les logarithmes. Ils avaient démontré le théorème de Pythagore et introduits les nombres négatifs.

 

Une tablette de 1800 avant Jésus-Christ montre la diagonale du carré et donne une valeur approchée de √2 (la longueur de cette diagonale) avec une très bonne précision.

Petite histoire des mathématiques

2500 avant Jésus-Christ – Égypte – le développement de la géométrie

Les Égyptiens construisirent la seule merveille du monde encore debout : la pyramide de Khéops. Ce chef d’œuvre de précision architecturale témoigne d’une connaissance avancée de la géométrie : ils connaissaient très probablement le nombre d’or.

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Pyramide de Khéops et nombre d’or

Le nombre d’or (environ 14/11 = 1+ √5/2) est en effet le rapport entre l’apothème de la pyramide et sa demi base.

Petite histoire des mathématiques

1900 à 1600 avant Jésus-Christ –  Babylone – invention de la trigonométrie

Les Babyloniens ont incorporés les savoirs mésopotamiens. Ils ont mis en place les premiers éléments de géométrie. Ils ont donné une valeur approchée de Pi = 3 + 1/8 et utilisait le théorème de Pythagore.

Ils ont également posé les bases de la trigonométrie, notamment pour améliorer leur calcul en astronomie.

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Babylone – les jardins suspendus

Petite histoire des mathématiques

Du côté de l’Égypte – l’estimation de Π s’affine

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Papyrus de Rhind

Vers 1650 avant Jésus-Christ, un scribe du nom d’Ahmès a résumé sur un papyrus les connaissances mathématiques  de son époque.

Ce papyrus fut découvert en 1855 dans la région de Thèbes et acheté quelques années plus tard par Alexander Henry Rhind à Louxor. Il donna son nom au papyrus.

Dans ce papyrus de Rhind se trouvent la résolution de plusieurs problèmes, une description de la multiplication et de la division, une méthode de résolution d’équations, le calcul des aires, notamment du trapèze et des volumes, notamment des pyramides.

On y trouve également une nouvelle estimation de ∏.

Petite histoire des mathématiques

800 avant Jésus-Christ – La Grèce et le soucis de la preuve

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Thalès de Millet – VIIème siècle avant Jésus-Christ

Le soucis de la démonstration

L’Europe des mathématiques est née en Grèce. Alors que les Sumériens utilisaient des propriétés qu’ils avaient constatées, les Grecs voulurent les démontrer. Euclide fut notamment le premier mathématicien qui s’attacha à une certaine rigueur dans la démonstration, en cherchant systématiquement à éclaircir les zones d’ombres et à trouver des preuves. Il posa donc les axiomes fondamentaux de la géométrie sur lesquels toute démonstration devrait s’appuyer.

Les obstacles infranchissables

Les Grecs, malgré des avancées fulgurantes, furent freinés dans leur progression par leurs dogmes intangibles : pour Pythagore, les nombres et la nature étaient confondus. Un nombre négatif ne pouvait donc pas avoir de sens. Les Grecs se représentaient 3 pommes. En revanche, personne en Grèce n’avait vu -3 pommes. Rien ne pouvait mesurer – 3 unités !Un nombre négatif n’avait pas de sens.

De même, pour un Grec, un nombre élevé au carré représentait une surface. Son cube représentait un volume. Mais que pouvait bien signifier un nombre élevé à la puissance 4 ? Un nombre élevé à la puissance 4 n’avait pas davantage de sens qu’un nombre négatif.

Les figures fondamentales

Pour les Grecs, deux figures étaient particulières, parfaites, voire divines : le cercle et le carré. Tout devait donc être « ramené à ces deux objets ». Une surface quelconque devait être comparée au carré. Un rectangle, par exemple, de surface D × d, était ramené à un carré de côté √  (D × d). Nous mesurons d’ailleurs toujours les surfaces en « carré ».

Les trois énigmes grecques

Puisqu’il n’y avait que deux figures fondamentales, les Grecs n’utilisaient que deux outils : la règle non-graduée et le compas. Aussi, trois problèmes célèbres, ont-ils résisté aux savants Grecs :

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La bissection d’un angle à l’aide de la règle et du compas

  1. la quadrature du cercle, ou comment dessiner un carré ayant la même surface qu’un cercle donné ;
  2. la trisection d’un angle, ou comment partager un angle en trois avec une règle et un compas ;
  3. la duplication du cube.

Il faudra des générations de mathématiciens pour montrer, 1500 ans plus tard, que ces trois problèmes sont insolubles.

Le platonisme mathématique

Platon, au cinquième siècle avant Jésus-Christ,  pensait que les objets mathématiques (les nombres, les figures géométriques, etc.) avaient leur propre existence, indépendante de l’activité humaine.  Au même titre que l’atome de carbone n’a pas attendu les chimistes, les nombres premiers, les cercles, le théorème de Pythagore étaient là bien avant l’humanité, déjà organisés, déjà établis.

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Le Parthénon

Aristote cita son maître, au IVème siècle avant Jésus-Christ :

« Outre l’existence des choses sensibles et des Idées, Platon admet celle des Choses mathématiques [Nombres, Lignes, Surfaces, Solides], qui sont des réalités intermédiaires (metaxu), différentes,

  • d’une part, des Choses sensibles, en ce qu’elles sont éternelles et immobiles,
  • et, d’autre part, des Idées, en ce qu’elles sont une pluralité d’exemplaires semblables, tandis que l’Idée est en elle-même une réalité une, individuelle et singulière. » Aristote, enseignement oral.

Selon Platon, les mathématiciens ne font que dévoiler (lever le voile) sur une réalité qui existait avant-nous.

Petite histoire des mathématiques

600 avant Jésus-Christ – Thalès et le théorème

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Théorème de Thalès

Thalés de Milet, le premier des sept sages de la Grèce, fut-il aussi le premier mathématicien  ?

Thalés de Milet mit en place les premiers éléments de la géométrie. Un séjour en Égypte lui permit d’acquérir des connaissances solides en sciences et de s’imprégner de l’héritage babylonien.

Théorème de Thalès

En voulant mesurer la hauteur des pyramides, il découvrit le théorème le plus célèbre chez les écoliers. OA/OC = AB/CD.

Il montra également qu’un triangle rectangle s’inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’hypoténuse. Il est probable qu’il soit aussi à l’origine d’autres théorèmes bien connus des écoliers comme :

  1. un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre ;
  2. les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux ;
  3. les angles opposés par le sommet sont égaux lorsque deux droites se coupent ;
  4. deux triangles sont égaux s’ils ont deux angles et le côté compris égaux.

500 avant Jésus-Christ – Zénon d’Elée et la question de l’infini

achille2Zénon d’Élée, disciple de Parménide, a vécu au Vème siècle avant Jésus-Christ. Il est connu pour ses paradoxes mathématiques.Sa vie est peu connue. Les seules sources viennent du Parménide de Platon et surtout des écrits de Diogène Laërce, l’historien romain qui retraça la vie et la pensée des philosophes de la Grèce pré-socratique.

Paradoxe de la flèche

L’un des paradoxes de Zénon démontre qu’une flèche n’atteint jamais sa cible. Car elle doit toujours parcourir la moité du chemin qui lui reste avant d’atteindre la cible

Si la distance à la cible est de 100 mètres, alors la flèche doit parcourir 100/2 (la moitié) + 100/4 (le quart) + 100/8 (le huitième) + 100/16 (le seizième) + …. de la distance. Et ainsi jusqu’à l’infini. Elle mettra donc une infinité de temps. Ce type paradoxe tournera la tête des Grecs et de leurs successeurs. Le développement des séries permettra de résoudre le paradoxe de la flèche et d’autres, comme celui d’Achille et de la tortue.

L’infini existe-t-il ?

Contrairement aux Pythagoriciens, les Eléates de Zénon eurent recours à l’infini pour décrire le monde : une droite ou une surface sont forcément constituée d’une infinité de points.

Aristote s’inscrira dans cette logique en constatant que la suite des entiers (1, 2, 3, 4…) est infinie : on peut toujours imaginer un entier plus grand qu’un entier donné.

Mais il s’agissait, pour Aristote d’un infini potentiel. Il niait l’existence d’un infini réel, un objet contenant une infinité de parties. Archimède contredira Aristote en affirmant au contraire l’existence de l’infini dans la nature. Le débat n’est aujourd’hui toujours pas tranché.

500 avant Jésus-Christ – Pythagore  et les nombres irrationnels

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La diagonale d’un carré de côté 1 est racine de 2

Pythagore fut le fondateur d’une secte qui porta son nom : les Pythagoriciens.

Pour Pythagore, tout dans la nature est fait de nombres et même de nombres entiers.

Aussi, lorsque l’un de ses disciples découvrit l’irrationalité de √2, (la diagonale d’un carré de côté 1), il le lesta de quelques rochers et le jeta à la mer.

Les nombres irrationnels

Mais le vers était toutefois dans le fruit. Les Grecs venaient de découvrir des nombres d’un genre nouveau : des nombres qui ne pouvaient pas se mettre sous la forme d’un ratio (p/q) (les nombres rationnels comme 1/4 ou 9/8). Ces nombres ont dont naturellement portés le nom de nombres irrationnels.

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Démonstration du théorème de Pythagore

√2 était un nombre irrationnel.

Pythagore fut aussi le (re)découvreur du théorème qui porte toujours son nom : le carré de hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Sa démonstration fut plus géométrique qu’arithmétique : il s’attacha, par des découpages savants, à faire correspondre des surfaces, comme le montre la figure ci-contre.

Petite histoire des mathématiques

438 avant Jésus-Christ – Le Parthénon et le nombre d’or

PHIDIAS le sculpteur fut chargé de la construction du Parthénon. Les proportions qu’il a utilisées pour dessiner la façade montre qu’il connaissait le nombre d’or : Φ = (1+ √5)/2) = 1.618.

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Parthénon et nombre d’or

Petite Histoire des mathématiques

400 avant Jésus-Christ – Eudoxe de Cnide et les quadratures

polygone

méthode d’exhaustion

La quadrature est l’opération qui consiste pour une aire quelconque (par exemple celle d’un rectangle de surface D × d) à déterminer le carré qui a la même surface (le carré de côté √(D×d)).

Méthode d’exhaustion

Eudoxe de Cnide fut peut-être l’inventeur de la méthode « d’exhaustion ». Cette méthode vise à déterminer la surface d’une aire complexe, par exemple un cercle.  Cette surface difficile à calculer  est approchée par une surface plus simple, un polygone dans notre exemple, dont on sait calculer la surface. Le polygone est inscrit à l’intérieur du cercle.  Plus en augmente le nombre de côtés du polygone plus sa surface s’approche celle du cercle, jusqu’à  épuisement de La différence. Archimède perfectionnera cette méthode, qui inspirera Fermat, 1500 ans plus tard, pour sa méthode des tangentes, à l’origine du calcul intégral

Eudoxe de Cnide tenta également d’imposer dans le monde grec la notion de nombres incommensurables, c’est-à-dire irrationnels, ouvrant timidement la porte aux nombres réels que Pythagore avait refusé en rejetant l’irrationalité de √2.

Petite histoire des mathématiques

300 avant Jésus-Christ –  EUCLIDE – l’arithmétique et la géométrie

Géométrie euclidienne

Euclide fut sans doute le plus grand dans le domaine de l’arithmétique. Euclide nous a légué une véritable encyclopédie des nombres en 13 volumes : les Éléments. Il y a rassemblé toutes les connaissances de son époque et les bases de la géométrie plane, celle où l’angle droit fait 90° : la géométrie euclidienne. Ces principaux axiomes sont les suivants :

  1. il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan ;
  2. tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite infinie ;
  3. à partir d’un segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment et dont le rayon est la longueur du segment ;
  4. tous les angles droits sont égaux entre eux ;
  5. étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première.
geometrienoneuclidienne

géométrie non-euclidienne

Le dernier axiome

Le dernier axiome n’est toujours pas démontré. 2000 ans plus tard, en cherchant à combler ce vide, un mathématicien russe Lobatchevsky mettra en place une nouvelle géométrie : la géométrie non-euclidienne, celle où les parallèles peuvent se couper et où les angles droits ne font pas forcément 90° .

Théorème fondamental de l’arithmétique

Euclide énonça également que tout nombre est divisible par un nombre premier ce qui permit au XIXème siècle à Carl Friedrich GAUSS de démontrer le théorème fondamental de l’arithmétique :

Tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d’une unique façon, à l’ordre près des facteurs. Carl Friedrich GAUSS

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Petite histoire des mathématiques

220 avant Jésus-Christ – Archimède et le calcul de Pi

Archimède reprit la méthode d’exhaustion d’Eudoxe de Cnide pour approcher π : ne pouvant mesurer avec précision le périmètre du cercle, il traça un premier polygone à l’intérieur du cercle et un second à l’extérieur. Il encadra ainsi la valeur de π entre 22/7 et 223/71.

Les exposants

Dans son Arénaire, Archimède s’attacha à un problème assez inquiétant : calculer le nombre de grains de sable dans l’Univers ! Bien évidemment, il se trouva confronter à des nombres pharaoniques. Pour s’en sortir, il développa donc une nouvelle notation des chiffres en introduisant les exposants :  il écrivit 1 000 sous la forme : 10³ et 100 : 10². Ainsi, au lieu multiplier 1000 par 100, il multiplia 10³ par 10², soit 10³ × 10² = 10³+² = 105 , soit 10 suivi de 5 zéros, soit 100 000.

Archimède avait posé les bases du calcul logarithmique, que nous retrouverons 1000 ans plus tard avec John NapierArchimède avait remplacé la multiplication par l’addition.

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300 avant JC – Alexandre le Grand à la conquête du monde

Petite Histoire des mathématiques

IIème siècle avant Jésus-Christ – Diophante d’Alexandrie le vrai père de l’algèbre

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Fermat et Diophante

Les équations diophantiennes

Diophante d’Alexandrie est né quelque part à une certaine époque. On ne sait en fait pas grand chose de celui qui laissa son nom à une forme d’équations bien particulière : les équations diophantiennes.

Les équations diophantiennes sont des équations à plusieurs inconnues, à coefficients entiers ou rationnels et dont les solutions sont entières ou rationnelles, par exemple :

 

x² + y ² = z², avec x, y et z entiers

Ces équations ont intéressé les plus grands mathématiciens des siècles à venir : Fermat, Euler, Gauss et les autres.  Le dernier théorème de Fermat est basé sur une équation diophantienne.

Sur les trois ouvrages dont il est l’auteur, deux sont arrivés jusqu’à nous :
  1. les nombres polygonaux ;
  2. les Arithmétiques.

Dans ce second ouvrage, Diophante s’est intéressé notamment aux équations du second degré : ax²+bx+c=0.  Mais il était encore imprégné de philosophie grecque et de ses interdits. Il refusait de reconnaître l’existence des nombres négatifs ou des nombres irrationnels.

La naissance de l’algèbre

Diophante innova toutefois. Contrairement aux Grecs, il  ignora géométrie pour résoudre ces équations. Diophante utilisa des méthodes numériques, en introduisant, dans les équations, une lettre pour désigner l’inconnue : l’algèbre était né.

Il proposa également dépasser la puissance de 3, innovation majeure dans le monde grecque.

Petite Histoire des mathématiques

IIème siècle avant Jésus-Christ – Ératosthène calcule le méridien terrestre

Lorsqu’il calcula le périmètre de la terre, qu’il savait circulaire, Ératosthène se trompa de moins de 100 kilomètre  Il fut également l’auteur du crible qui porte son nom et qui donne une méthode pour trouver les nombres premiers.

190 avant Jésus-Christ – Nicée – Hipparque développe la trigonométrie

La trigonomètrie

Hipparque de Nicée, astronome eut l’idée d’introduire la notion de corde, ancêtre du sinus pour suivre la position des planètes.

corde

Trigonométrie et astronomie

Il s’agissait de relier par un segment de droite l’intersection entre :

  • le secteur angulaire décrit par une planète et
  • le cercle de rayon 1.

La longueur de ce segment de droite représentait la corde. Hipparque put ainsi construire des tables de cordes. En connaissant une corde, Hipparque obtenait, en cherchant dans ses tables, le secteur angulaire. La corde, telle que donnée par Hipparque, représentait ce qu’on appelle aujourd’hui le sinus, ou, pour être plus exact, correspondrait au double de notre sinus.

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476 après JC – La fin de l’empire romain

Petite histoire des mathématiques

VIIème siècle  – BRAHMA-GUPTA, l’Inde et naissance du zéro

Depuis le IIème siècle avant Jésus-Christ, les Indiens avaient abandonné le système hexadécimal pour le système décimal bien plus pratique, car à l’image des 10 doigts des mains. Leurs chiffres seront adoptés par les Arabes et seront ensuite importés en Italie  par Fibonacci que nous rencontrerons au XIIème siècle.

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Évolution des chiffres entre les Indiens et les Arabes

L’invention du zéro

Pour séparer les centaines des unités, les Indiens commencèrent par mettre des espaces, puis un point et enfin un rond : l’ancêtre de notre zéro était né.

BRAHMA-GUPTA alla plus loin en théorisant ce nouveau nombre qui signifiait « le néant », le vide. 0 fut défini comme le résultat de la soustraction d’un entier par lui-même 0 = a-a. BRAHMA-GUPTA donna aussi le résultat suivant a+ 0 = a et  a x 0 = 0, ce qui était juste, mais s’égara en donnant a/0 = 0 alors que l’on sait aujourd’hui que le résultat est infini.

Les nombres négatifs

Il introduisit, fait tout à fait nouveau, les nombres négatifs considérés ici comme des pertes comptables : 5 – 7 = -2.

Équation du second degré

Il fut l’inventeur de l’algèbre, avec Diophante le Grec, cette discipline qui consistait à résoudre des équations dans lesquelles se cachaient des inconnues, que l’on note aujourd’hui x :  il donna les solutions des équations du second degré du type :  ax²+bx+c=0.

Petite histoire des mathématiques

IXème siècle –  AL KHAWARIZMI –  La Perse et la (re)naissance de l’algèbre

L’arithmétique consistait à faire des calculs, certes de plus en plus compliqués, mais toujours des calculs. Avec l’algèbre (Al-jabr en arabe), on vit apparaître, dans les équations, une ou plusieurs inconnues : la chose à découvrir. AL KHAWARIZMI, à la suite de BRAHMA-GUPTA et Diophante, rédigea en 813 le premier traité d’algèbre : l’Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison.

On avait vu avec les Grecs, et notamment avec les astronomes grecs, naître la trigonométrie, cet art consistant à mesurer les angles dans le triangle.

AL KHAWARIZMI développa cet art et introduisit notamment la notion de sinus (pli en latin), probablement à partir d’ouvrages indiens plus anciens.

Petite histoire des mathématiques

La chrétienté – période noire pour les mathématiques

L’Europe, avec sa conversion au christianisme au quatrième siècle, avait pris un sérieux retard. Les connaissances grecques étaient perdues et la science en général et les mathématiques furent mis en quarantaine.

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1000 ans d’obscurantisme

Pendant mille ans, les questions d’ordre théologique devinrent prioritaires, comme  la divinité du Christ ou la nature de l’hostie. Les travaux d’Archimède, d’Euclide et des autres furent oubliés.

Les ouvrages grecs nous parvinrent finalement via les Arabes, qui en avaient fait des traductions systématiques et par les Byzantins qui avaient récupéré les parchemins d’Alexandrie. Il fallut attendre la renaissance italienne pour que l’Europe se mit à nouveau au travail.

Petite histoire des mathématiques

XIIIème siècle – FIBONACCI importe le zéro et les chiffres indo-arabes

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La spirale de FIBONACCI

Fibonacci avait suivi son père commerçant en Afrique du Nord. Il importa en Europe  :

  • le système décimal ;
  • le zéro ;
  • les nombres négatifs ;
  • les chiffres indo-arabes

La notation romaine peu pratique pour les calculs disparut : Essayez donc de multiplier MMXCVI par CCMXVI !

Fibonnacci  nous a légué une célèbre suite qui porte son nom, qui  permet de dessiner de jolies spirales. En partant de 0 et 1, cette suite est construite en additionnant les deux chiffres précédents pour obtenir le suivant. (0+1 = 1)  ( 1+1 = 2) (1+2 = 3=… Ce qui donne 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Fibonacci découvrit que le rapport entre deux membres successifs de la suite converge vers une valeur particulière : le nombre d’or Ψ : la divine proportion.

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La divine proportion L/A = A/B du nombre d’or

Ce nombre d’or [(1+√5)/2] était déjà connu en architecture comme la « divine proportion », notamment chez les Égyptiens et les Grecs.

Cette proportion, utilisée par Léonard de Vinci entre autres et toujours en vogue aujourd’hui, représentait la perfection esthétique.

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spirale de Fibonacci

Fait étonnant, ce nombre d’or, à l’instar de Pi, se trouve partout dans la nature. La fleur d’artichaut ou du tournesol, une dépression atmosphérique, les pétales d’une rose, la coquille d’un escargot, les quasi-cristaux, prennent une forme de spirale construite à partir de la suite de Fibonacci.

Petite histoire des mathématiques

1540 – François Viète invente « x » : l’inconnue

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François Viète

François Viète, avocat protestant, fut l’un des dynamiteurs de l’algèbre de Papa. Ses talents de mathématiciens le firent conseiller auprès du Roi de France Henri IV avec pour mission de déchiffrer les missives codées des catholiques espagnols.

L’algèbre européen

Le bon Roi Henri, à qui on avança qu’il n’y avait pas de mathématiciens en France, répondit : « Qu’on aille me chercher Viète ». En pleines guerres de religions, Viète fut le premier (en Europe) à noter les inconnues dans une équation par une lettre.

Mais laissons Jean Rond d’Alembert faire son éloge un peu modernisée :

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Le vert galant – Henri IV et l’Edit de Nantes qui mit un terme aux guerres de religions

« Son premier mérite fut d’introduire dans les équations les lettres pour désigner les inconnues ; son second fut d’avoir imaginé des transformations visant à simplifier les équations ; la troisième fut sa méthode pour déterminer le nombre de racines d’une équation en fonction de son degré ; la quatrième fut son apport dans la résolution des équations du quatrième degré ; la cinquième, c’est la formation des équations composées par leurs racines simples, lorsqu’elles sont toutes positives, ou la détermination de toutes les parties de chacun des coefficients de ces équations ;

[….]

Jean Rond d’Alembert, encyclopédiste.

Petite histoire des mathématiques

1581 – Raphaël Bombelli invente les nombres imaginaires

Les nombres imaginaires

A la suite de Giordano Cardano, Raphaël Bombelli, en cherchant à résoudre les équations du troisième degré, inventa le nombre imaginaire i = √-1. Ce nombre aura une immense postérité. Outre la facilitation de nombreux calculs, il sera un outil indispensable en physique.iComme on l’a déjà vu, les Indiens avaient franchi une étape en faisant appel aux nombres négatifs que les Grecs refusaient. En inventant ce nombre imaginaire, Bombelli détacha un peu plus les mathématiques de la réalité physique. Un panier de -5 pommes n’avait pas de sens. Un autre contenant i bananes, encore moins !

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Renaissance italienne

Les mathématiques empruntaient des chemins de plus en plus abstraits.

Petite histoire des mathématiques

1550 – John Napier invente les logarithmes

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John Napier

Les logarithmes

John Napier était un astronome écossais confronté à la multiplication des grands nombres, comme Archimède le fut avec ses grains de sable. Napier eut l’idée, comme le savant grec avant lui, de remplacer cette opération compliquée par une autre plus simple : l’addition. De quoi s’agissait-il ? Prenons un exemple :  4 × 8 = 32. On peut aussi écrire 2² × 2³ = 32. Ou encore 2²+³ = 32, c’est-à-dire 25 = 32. La multiplication de 4 par 8 a été remplacée par l’addition de  2+3 !

John Napier construisit alors des tables de logarithmes avec comme règle :

log (a×b)= log (a) + log (b)

Dans notre exemple,  on a pour un logarithme de base 2 :

  • log (4) = 2 et  log (8) = 3.
  • Log (4 ×8) = log (4) + log (8) =   2  + 3 = 5
  • La table de Napier dit que  Log (32) = 5

La table de Napier indiquait que le nombre dont le logarithme vaut 5 est 32. La multiplication devint inutile. Une simple lecture de la table permit de dire  que 4 × 8 = 32.

Petite histoire des mathématiques

1629 – Albert Girard annonce le théorème fondamental de l’algèbre

Albert Girard, l’inventeur des parenthèses et de la notation « sin » pour la fonction « sinus », confirma en 1629 une intuition de François Viète, qui préfigurait le théorème fondamental de l’algèbre qui sera démontré par Gauss 200 ans plus tard :

Toutes les équations d’algèbre reçoivent autant de solutions que la dénomination de la plus haute quantité le démontre. Albert Girard.

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1637 – DESCARTES relie l’algèbre et la géométrie

Le repère cartésien

Descartes est surtout connu pour pour son discours de la méthode. Mais Descartes fut aussi l’inventeur des coordonnées et du repère qui portent son nom. Un repère dit « cartésien » est un repère muni d’une origine (un point O) qui est l’intersection :

  • d’un axe des abscisses (Ox) et
  • d’un axe des ordonnées (Oy).
repère cartésien

Repère cartésien

Un point peut être placé dans ce repère. Il est défini par ses coordonnées cartésiennes :

  • l’abscisse x et
  • l’ordonnée y.

Une droite peut être également tracée dans ce repère. Elle est définie par une équation du type y = a x+b. Par exemple y = 2x+1 est une droite qui passe le point M (2,5). En effet, quand x = 2 , alors y = 2 × 2 + 1 = 5.

Une seconde droite peut être tracée ; sur notre exemple, elle est définie par l’équation  y = -x+4.
Les droites se coupent au point C (1,3). Ce qui veut dire que le couple x=1 et y=3, vérifie simultanément :
  • y = 2x+1
  • y = -x+4

Il s’agit d’un système algébrique de deux équations à deux inconnues. On vient de trouver sa solution par la seule  géométrie. Descartes a ainsi relié la géométrie et l’algèbre. Son repère cartésien allait aussi donner naissance aux fonctions, un puissant outil utilisé dans la branche de l’analyse.

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1628 – Richelieu, éminence grise de Louis XIII,  au siège de La Rochelle

Descartes travailla aussi sur l’optique. Il définit le principe d’inertie qui sera repris par Galilée et la loi sur la conservation de la quantité de mouvement.

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1648 – Pierre de FERMAT et la méthode de la tangente

fermat

Pierre de FERMAT

Le calcul différentiel

Mathématicien amateur, il fut sans doute le vrai inventeur du calcul différentiel, n’en déplaise aux Anglais (qui lui préfèrent NEWTON) et aux Allemands (qui lui préfèrent LEIBNIZ).

En effet, sa méthode dite « des tangentes » fut bien l’ancêtre du calcul différentiel.

FERMAT travailla aussi sur les nombres premiers. Il laissa un théorème, que l’on appelle le grand théorème de FERMAT, fondé sur une équation diophantienne, démontré en 1998 par l’Anglais Wiles.

Il n’existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y, z vérifiant l’équation

xn + yn = zn

lorsque n est un entier strictement supérieur à 2. Grand théorème de Fermat

FERMAT laissa une annotation dans la marge qui semblait suggérer qu’il en avait une démonstration :

« Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »   Pierre de FERMAT.

Vu la puissance de la démonstration de Wiles et les outils qu’il a utilisés qui n’existaient pas à l’époque, la démonstration de FERMAT est douteuse.

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1650 – Grégoire Saint-Vincent, l’hyperbole et la constante e du logarithme naturel dit « népérien ».

Georges Saint-Vincent, en 1650, s’intéressa à l’aire sous la courbe de l’hyperbole : y = 1/x (représentée sur la graphe ci-dessous).

Il s’aperçut que  les aires sous la courbe sont constantes lorsque la progression de l’abscisse est géométrique (1, 2, 4, 8, 16,…).

hyperbole

Aire sous l’hyperbole

Si on s’intéresse à l’aire depuis l’abscisse 1, la progression des aires est arithmétique :

Aire (a x b)= Aire de (a) + Aire de (b). Et Aire (1) = 0.

Il  venait de montrer que l’intégrale de la fonction f(x) = 1/x est le logarithme népérien (de base e).

Si les abscisses d’une hyperbole équilatère croissent en progression géométrique, les aires des surfaces découpées entre l’hyperbole et son asymptote par les lignes ordonnées correspondantes croissent en progression arithmétique.

Grégoire Saint-Vincent

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1664 – Nicholas MECATOR invente les séries infinies

 Les séries infinies

Nicholas MECATOR publia Hypothesis astronomica nova. Astronome, MERCATOR travaillait sur les théories développées par Kepler sur les orbites elliptiques des planètes. MERCATOR s’intéressait aussi à l’aire sous l’hyperbole y = 1/x. Selon d’Alembert, il fut l’inventeur des séries infinies : il modifia un peu son hyperbole en étudiant la fonction, y = 1/1+x. En faisant la division, il obtint la suite infinie suivante :

1/(1 + x)   = 1- x + x2  – x3 + x4  + ….

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1650 – 1700 – famille Bernoulli

Les séries infinies (suite)

jacob bernoulli

Jacques BERNOULLI

La famille Bernoulli a quitté Bâle pour s’installer en Italie. Elle a donné 9 mathématiciens de réputation mondiale, dont Nicolas, Jean, Jacques et Daniel.

Jacques, le fils de Nicolas, publia des traités importants sur les séries infinies initiées par MERCATOR, de la forme :

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +…+1/n = ∑1/n.

Jacques chercha à démontrer que cette somme divergeait. Il s’intéressa aussi à une somme plus intéressante :

1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² +…+1/n² = ∑1/n =  ∑1/n².

Celle-ci semblait en effet converger, malgré son infinité de termes. Ce sera Euler qui montrera en effet que :

1 + 1/4 + 1/9+ 1/16+..1/n² =  ∏/6.

Un résultat étrange ! Que vient faire ∏, la constante du cercle, au milieu de cette somme ?

Un autre résultat étonnant. En travaillant sur des taux d’intérêt, Jacques Benoulli découvrit  :

∑ (1+1/n)= e

(e est ici la constante du logarithme népérien qui vérifie ln e = 1).

Que venait faire cette constante dans une telle somme ?

La fonction exponentielle ex

Jean Bernoulli a introduit la fonction exponentielle dans le grand bal des mathématiques :

  • ex est la réciproque de la fonction ln x
  • Elle est notée ex
  • On a ainsi : elnx = x
  • eest la seule fonction qui est sa propre dérivée

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XVIIème siècle – LEIBNIZ et NEWTON se disputent la paternité du calcul différentiel

Leibniz-Portrait

Leibniz

Le calcul différentiel

Le premier, un Allemand à qui on doit le terme de fonction, et le second, un Anglais à qui l’on doit la mécanique qui porte son nom, se disputèrent l’invention duc calcul différentiel.

Bien entendu, le vrai découvreur est Fermat, un Français.

Le repère cartésien servait maintenant à tracer des courbes. La température était tracée en fonction de l’ensoleillement, la taille d’un individu était fonction de son âge, la position d’un boulet fonction du temps.

Les artilleurs de sa Majesté trouvaient que la précision des tirs d’obus (par ailleurs onéreux) était aléatoire. Sa majesté confia à Newton le soin de résoudre ce problème. NEWTON chercha à connaître, à chaque instant, la vitesse de l’obus. Pour cela, il devait connaitre, pour chaque minuscule intervalle de temps (notée dt), la petite variation de position du boulet (notée dx).

différentiel

newton et le calcul différentiel

La vitesse instantanée (v(x)) était alors égale au rapport entre cette petite variation de position et l’intervalle de temps.

  • dx, la variation infiniment petite de position ;
  • dt, celle du temps ;

V (x)= dx/dt est alors la vitesse instantanée.

On dit que V (x) est la dérivée sur le temps de la position de l’obus.

Petite histoire des mathématiques

1694- NEWTON établit le théorème fondamental de l’analyse

newton

Isaac NEWTON

Théorème fondamental de l’analyse

Dans son Principia Mathematica, Newton établit le Théorème fondamental de l’analyse. Il compléta, pour cela,  les premières ébauches de James Gregory. Ce théorème permit de relier les fonctions « dérivée » et les fonctions « intégrales ».

Depuis plusieurs années :

  • on « dérivait » les fonctions (par exemple de la position des obus) pour calculer leur vitesse à chaque intervalle de temps et
  • on « intégrait » d’autres fonctions pour calculer des surfaces.

A priori, i n’y avait pas de rapport entre les deux calculs. Newton démontra l’inverse. Le théorème fondamental de l’analyse précisa que la dérivée était la réciproque de l’intégrale.

louis XIV

1667 – Colbert présente les membres de l’académie royale des sciences à Louis XIV

Petite histoire des mathématiques

1712 – Brook Taylor relie les fonctions et les séries

Les séries de TAYLOR

On savait déjà que toute fonction algébrique pouvait s’exprimer selon une combinaison de  fonctions simples du type :

f(x) = ax+b

Par exemple, une fonction algébrique du second degré pouvait s’écrire 

f(x) = (a1x+b1) (a2x+b2)

Et plus généralement, pour les degrés supérieurs :  f(x) = (a1x+b1) (a2x+b2) (a3x+b3)… (anx+bn). Taylor eut l’idée de calculer les dérivées successives :

f(x) = f(a) +  f'(a)  (x-a)1  /1! + f  »(a)  (x-a)2  /2! +.. + fn(a) (x-a)n  / n! +…

Colin Mac Laurin, en 1742, posa a = 0. Laurin obtint ce que l’on connait depuis sous le nom de série de Taylor :

f(x) = f(0) +  f'(0)  x + f  »(0)  (x)2  /2! +.. + fn(0) (x)n  / n!

Ce qui donna pour les fonctions usuelles :

  • sin (x) = x¹/1! – x³/3!  +  x5/5!  – x7/7!…
  • cos (x) = 1 – x2/2! + x4/4!  –  x6/6!  + x8/8!…
  • e(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!  + x4/4!…

Les fonctions et les séries infinies étaient bien liées.

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1748 – EULER et l’exponentielle

L’exponentielle

euler2Euler fut sans doute le plus grand de tous les temps. Il travailla sur toutes les branches des mathématiques et notamment l’arithmétique. Il établit ainsi une relation entre les entiers et les nombres premiers.

euler

Cette formule est remarquable : elle démontre que les nombres premiers ne sont pas distribués au hasard. Ils sont l’ossature des nombres entiers, les couleurs primaires à partir desquelles toutes les autres peuvent être reconstituées.

Euler fut, à la suite de Napier, l’un des développeur des logarithmes.

On lui doit, avec Jean Bernoulli, le calcul de la constante e (dite constante d’Euler) qui intervient dans la fonction exponentielle, réciproque de la fonction logarithme.

Il est à l’origine de la plus belle formule de tous les temps que l’on peut retrouver à partir des séries de Taylor : e– 1= 0

  • cos x + i sin x = 1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …
  • eix=1 + i.x /1! + (i.x)²/2! + (i.x)³/3! + …
  • donc eix = cos x + i sin x  et en posant x= ∏ :

e– 1= 0

Cette formule synthétique relie en 7 symboles les plus fameuses constantes de l’Univers :

  • e, la base du logarithme naturel ;
  • i, le nombre imaginaire de Bombelli ;
  • Π, la constante du cercle, géométrique par essence ;
  • 1, l’élément neutre de la multiplication ;
  • 0, l’élément neutre de l’addition.
Arrest Of Louis XVI & His Family At House Of Registrar of Passpo

Arrestation de Louis XVI à Varennes

Petite histoire des mathématiques

1800 –  Pierre Simon de Laplace simplifie la dérivation

Napoléon

L’Empereur – Napoléon Ier à Waterloo

Peut-être l’invention revient-elle à Euler. Pourtant elle fut popularisée par le comte de Laplace, mathématicien en chef de l’Empereur. Il s’agit bien entendu de la transformée de Laplace, qui permit de substituer aux opérations difficiles que sont la dérivation et l’intégration en opération simple : l’addition et la multiplication. On peut dire que la transformée de Laplace est la dérivation ce que le logarithme est à la multiplication.

Et l’empereur demanda à Laplace :

  • où est Dieu dans votre vision du monde ?
  • je n’ai point eu besoin de cette hypothèse, sire ! répondit alors le comte.

 

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Transformée de Laplace

Petite histoire des mathématiques

1830 –  Carl Friedrich GAUSS ouvre la porte à la géométrie non-euclidienne

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Carl Friedrich GAUSS

GAUSS fut le plus brillant mathématicien de la première partie du XVIIIème siècle. Il travailla,  comme Fermat et Euler avant lui, sur la théorie des nombres.

Le théorème fondamental de l’arithmétique

Euclide, comme nous l’avons vu,  dans ses Éléments, avait montré que tout nombre entier pouvait être divisé par un nombre premier.

Mille ans plus tard, Gauss démontra dans son  « Disquisitiones arithmeticae » le théorème fondamental de l’arithmétique :

Tout nombre entier naturel n > 1 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, à l’ordre des facteurs premiers près. Soit en d’autres termes :

n = q1 a1 × q2 a2 × q3 a3 × ….. × qr ar ; avec les qi premiers distincts et les ai entiers positifs. Carl Friedrich Gauss

Avec ce théorème Gauss, confirma que les nombres premiers sont les briques fondamentales à partir desquelles tous les nombres entiers sont construits.

La densité des nombres premiers

On lui doit une relation curieuse qui donne la densité des nombres premiers inférieurs à un certain entier n :

∏(n) ≅ l(n)/n

La méthode des moindres carrés

Son heure de gloire, il la doit à son invention de la méthode des moindres carrés qui permit, à l’époque, de trouver un objet céleste (Cérès) exactement à l’endroit qu’il avait calculé grâce à cette méthode. Cette méthode très largement répandue aujourd’hui permet, dans le cadre d’expériences, de réduire l’effet d’une erreur de mesure.

La géométrie non-euclidienne

Il envisagea également une géométrie non-euclidienne, c’est-à-dire une géométrie qui ne respecte pas le cinquième axiome d’Euclide. La somme des angles du triangle peut dans cette géométrie être inférieure ou supérieure à 180°  !

Le théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes.

Gauss proposa quatre démonstrations différentes.

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1830 – En pleine Révolution de Juillet, Cauchy développa l’analyse complexe

Cauchy, Louis-Augustin était un mathématicien français né en pleine Révolution (26 aout 1789). Il développa l’analyse complexe. Une seconde révolution (1830) le poussa à l’exil en Suisse. Il refusa en effet de prêter allégeance au Roi des Français Louis-Philippe.

1830

Delacroix – Révolution des trois glorieuses qui chasse Charles X et installe la Monarchie de Juillet de Louis-Philippe

L’analyse complexe est tout simplement l’étude des fonctions à variables complexes, telles que f(z) = 1/ z, avec z et f(z) des nombres complexes (z = x + i y). La différence fondamentale avec l’analyse classique est donc :

  • le domaine de définition de la fonction qui a deux dimensions (le plan complexe) ;
  • et le domaine « image » de la fonction qui, lui aussi, a deux dimensions.

Cauchy définit la dérivabilité des fonctions à variables complexes. Une fonction est dérivable (holomorphe) en z0 si f'(z0) existe :

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Théorème de Cauchy-Riemann

  • Prenons un nombre complexe :  z = x+i
  • f(z) peut s’écrire f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y) où u et v sont deux fonctions à variables réelles.

Alors f est différentiable si;

  • ðu/ðx = ðv/ðy et
  • ðv/ðx = – ðu/ðy.

Bref, on est revenu à de l’analyse classique.

Intégrale curviligne et Théorème intégral de Cauchy

L’intégration existe aussi dans le monde imaginaire : mais on intègre plus le long d’un axe (des réels), comme en analyse classique, mais sur un domaine à deux dimensions appartenant au plan complexe C. L’intégration se fait le long d’un chemin ou courbe d’où le nom d’intégrale curviligne.

Cauchy montra que si le point de départ et le point d’arrivée du chemin sont identiques, alors l’intégrale est nulle (Théorème intégral de Cauchy).

Théorème des résidus

Avec le théorème des résidus, Cauchy donna une méthode simple pour calculer des intégrales curvilignes autour d’une singularité ; une singularité étant un point du plan complexe où les valeurs de la fonction divergent ; pour f(z) = 1/z, la singularité (ou pole de la fonction) est par exemple le point 0 (où f(z) est ∞).

résidus

Exemple de singularité : la fonction f(z) a deux pôles z1 et z2

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1850 – Bernhard RIEMANN et les surface du même nom

Surface de Riemann

Bernhard RIEMANN, à la suite de Cauchy, s’attaqua, à un problème en suspend : les fonctions multi-évaluées.

En effet, une fonction digne de ce nom a une seule image. Pour tout x, par exemple, on a un seul x² ou un seul cos x ou un seul ln x.

En analyse complexe : un z peut avoir deux images, voire une infinité. C’est le cas notamment de log (z) et des fonctions racines.

Exemple pour log (z)

On sait que :

z = r x e    =     r x ei(θ + 2kπ)

En effet, on peut faire des tours (2∏) dans le plan complexe et revenir au point de départ autant de fois que l’on veut !

Riemann_surface_log.jpg

Surface de RIEMANN pour log z

Calculons alors Log z

  • Log (z) = Log (r xe)
  • =  ln r + iθ x ln e
  • = ln r + iθ

Ou

  • Log z = Log (r x ei(θ + 2kπ))
  • =  ln r + iθ +2ikπ

On a bien deux expressions différentes pour log z ! Ce qui est interdit pour une fonction ! Heureusement, RIEMANN trouva une astuce. A chaque tour, z n’a qu’à monter un escalier et se retrouver à l’étage supérieur !

Ainsi z = r x e    ≠     r x ei(θ + 2kπ) et le tour est joué. Ces formes un peu bizarre prirent le nom de surfaces de Riemann.

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 1880 – Georg CANTOR fonde la théorie des ensembles et mesure l’infini

jules ferry

Troisième république 1870-1914 – Jules FERRY met en place l’école laïque et obligatoire pour tous

Attaqué de toutes parts par ses contemporains, Georg CANTOR finira ses jours plongé dans une profonde dépression qui l’empota. Ces attaques s’expliquent par le caractère profondément innovants de ses travaux : Leibniz déjà fut la victime des sarcasmes de Descartes qui lui reprochait ses calculs portant sur les quantités infiniment petites ; CANTOR lui s’attaqua à l’infiniment grand !

Il définit, dans un premier temps, la notion d’ensembles :  un ensemble est une collection homogène et cohérente d’objets. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels (1, 2, 3, 4,…). Si on additionne deux nombres naturels, on en obtient un troisième qui s’inscrit également dans l’ensemble.

On peut avoir  des ensembles finis (par exemple l’ensemble des assiettes dans un placard), mais aussi infinis (par exemple l’ensemble des nombres complexes C).

CANTOR alla plus loin en comparant les infinis entre-eux : il montra ainsi que l’infinité de l’ensemble N des nombres des entiers naturels (1, 2, 3,4…) est du même ordre de grandeur (cardinal dans son vocabulaire) que l’infinité de l’ensemble des nombres des entiers pairs (2, 4, 6, 8…) ; ce qui parait a priori surprenant ; pourtant, à chaque entier, on peut bien associer un nombre pair unique (en le multipliant par deux) et réciproquement. Il y a une bijection entre ces deux ensembles qui sont donc de même cardinal !

La diagonale de CANTOR

Il montra en revanche que l’infinité de l’ensemble R des nombres réels est plus grande que l’infinité de l’ensemble N des nombres entiers, car une telle bijection ne peut être construite : prenons par exemple les réels entre 0 et 1. Supposons ensuite que nous ayons une telle bijection.

A l’entier naturel 1, est associé un réel aléatoire situé entre 0 et 1. A 2 aussi, et ainsi de suite.

1 → 0.112345678899123….

2 → 4646578421254427…

3 →  0.1457121512144712..

4 → 0.5672434131215454..

etc

Construisons maintenant un nombre réel X à partir de cette suite, de la manière suivante :  on cherche :

  • la première décimale du premier réel: 1 et on ajoute 1 = 2 ;
  • la seconde décimale du second réel: 6 et on ajoute 1 = 7 ;
  • la troisième décimale du troisième réel: 5 et on ajoute 1 = 6;
  • la quatrième décimale du quatrième réel: 2 et on ajoute 1 = 3;
  • etc

X = 0.2763.

Il est évident que X n’appartient pas à la liste que nous avons construite. Il n’est pas en relation avec un entier naturel. Dans le vocabulaire de CANTOR, on vient de démontrer que R est « non-dénombrable » par N et est donc plus grand que lui. Certains infinis sont donc plus grands que d’autres !

CANTOR montra qu’il existe une infinité de tailles d’ensembles infinis et que l’ensemble des sous-parties d’un ensemble infini A est plus grand que A.

L’hypothèse du continu

CANTOR posa l’hypothèse selon laquelle, en théorie des ensembles :

Il n’existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l’ensemble des entiers naturels et celui de l’ensemble des nombres réels. Georg CANTOR

Il fallut attendre  1963, pour qu’un mathématicien montre qu’une telle affirmation était gratuite car indémontrable (au sens Gödel du terme qui arrive juste après) !

tranchées

1914 – 1918 première guerre mondiale

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 1905 – Poincaré met en place la topologie

Point d’orgue des mathématiques abstraites, la topologie consiste à étudier des formes, à les classer, pour trouver des équivalences et ainsi déduire des propriétés qui, applicables à l’une, seraient transposables à l’autre.

hitler

1933 – Hitler devient chancelier du Reich et salue le vieux maréchal Hindenburg

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1933 – Gödel démontre que l’on ne peut pas tout démontrer !

Plus grand logicien depuis Aristote, Kurt GÖDEL démontra qu’à l’intérieur d’un système logique, par exemple l’arithmétique, il est impossible de dire si  certaines affirmation sont vraies ou fausses : « elles sont indécidables ». Ce fut bien entendu un résultat majeur qui montra le caractère pathétique de la quête consistant (comme le voulait David HILBERT) à achever les mathématiques. Voilà qui donna une réponse négative au deuxième problème Hilbert (voir plus loin les 23 problèmes) : Peut-on prouver la consistance de l’arithmétique ?

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Et maintenant ?

Il n’existe plus de nos jours de mathématiciens qui peuvent s’enorgueillir de disposer de l’intégralité du savoir. Les meilleurs sont spécialistes au mieux d’une branche des mathématiques. Ils consacrent leur vie à un théorème, une équation, un détail infime dans l’océan des nombres.

Les mathématiques sont de plus en plus abstraits. On n’hésite plus à parler d’espaces de dimensions 4, 5, voire n, voire une infinité de dimensions, ce qui, bien sûr, n’a aucun sens physique, mais fonctionne très bien dans le monde des mathématiques.

De même, les espaces ne sont plus rectilignes, comme au temps d’Euclide. Les espaces peuvent être courbes. Dans cette géométrie non-euclidiennes, les angles droits ne font pas 90° et les parallèles peuvent se couper ! Et pourtant, du point de vue mathématique, ça tient debout.

On travaille sur des objets étranges, comme des matrices, des groupes formels d’Evariste Galois, les fonctions symétriques de Cauchy, des vecteurs, et on s’éloigne ainsi  de plus en plus des bons vieux problèmes d’arithmétiques qui avaient pourtant donné naissance aux mathématiques.

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Les 23 problèmes d’Hilbert

Les Mathématiques ne sont pas achevés. Ils ne le seront jamais. Au début du XXème siècle, David HILBERT a présenté une liste de 23 problèmes à résoudre pour, croyait-il, achever les mathématiques. En voici certains :

Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l’ensemble des entiers naturels ou avec l’ensemble des réels lui-même.

L’ensemble des réels comprend l’ensemble des nombres entiers (1, 2, 3…), des entiers relatifs (les entiers négatifs), les nombres rationnels (qui s’écrivent sous la forme p/q comme ¼), les nombres irrationnels comme Pi ou 2 (qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme p/q). Il y aurait bijection si un ensemble de nombres, inclus dans celui des réels, était relié avec l’ensemble des nombres entiers par une relation biunivoque : une bijection. Attention, on parle ici d’ensemble infinis. Cantor avait ainsi montré que l’on pouvait construire une telle relation entre les nombres entiers et les nombres pairs : il suffit de multiplier l’entier (par exemple 3) par 2 et on obtient bien un nombre pair (6 dans notre exemple). Chaque entier peut être relié à un nombre pair et il y a bien une bijection et il y a donc autant d’entiers que de nombres pairs !!!

En revanche, en 1963, on a montré que la proposition d’Hilbert était indécidable. Ce fut Gödel, avec son théorème d’incomplétude de 1931, qui montra en effet que dans tout système logique comme arithmétique, on ne peut rien dire de certaines proposition, ni si elles sont vraies, ni si elle sont fausses.

Peut-on prouver la cohérence de l’arithmétique ?

Y a-t-il des axiomes non-démontables ? Ou plutôt indécidables, dont on ne peut pas dire s’il sont vrais ou faux. Là encore, Gödel nous a appris que c’est le cas.

Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique différent de 0 et 1, et b algébrique irrationnel.

Un nombre transcendant est un nombre qui n’est pas la solution d’une équation algébrique : c’est le cas de Π, par exemple. Avec cette proposition, 2√2, pas exemple, serait transcendant puisque √2 est irrationnel. La démonstration a été apportée en 1934 par Schneider et Gelfond.

Démontrer trois conjectures :

  1. — l’hypothèse de Riemann ;
  2. — la conjecture de Goldbach ;
  3. — la conjecture des nombres premiers jumeaux.

L’hypothèse de Riemann

La fonction zêta de RIEMAN est peut-être la plus mystérieuse des mathématiques : elle prend la forme suivante avec s un nombre complexe.

zeta euler

L’hypothèse de RIEMANN veut que les zéros de sa fonction  « contrôlent » la distribution (en fait leur oscillation autour d’une position attendue) des nombres premiers. Les zéros, selon RIEMANN, sont, dans le plan complexe, situés :

  • symétriquement autour de l’axe s = ½ + it ;
  • à l’intérieur d’une bande critique entre 0 et 1 pour leur partie réelle.

Malgré les nombreuses tentatives, la conjecture n’est pas démontrée. C’est dommage car elle donnerait sans doute le secret de la distribution des nombres premiers.

La conjecture de Goldbach

Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

Quelques exemples : 8 = 5 +3 ou 10 = 5+5.

Avis aux amateurs, la conjecture résiste toujours !

La conjecture des nombres premiers jumeaux.

Des nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers séparés par un seul entier ; quelques exemples : 5 et 7 –  11 et 13. Il y aurait une infinité de nombres premiers jumeaux. Reste à la démontrer ! Grâce à la puissance des calculateurs modernes, on trouve de tels couples, de plus en plus gigantesques, voire pharaoniques, contenant plus de 200 000 chiffres ! Mais, comme pour la conjecture de Golbach, les jumeaux résistent. On avance toutefois : l’idée est de montrer qu’il existe une infinité de couples dont l’écart est inférieur à un nombre donné. Cet écart est aujourd’hui de 6…

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions

Qu’est qu’un équation diophantienne : on doit le concept à Diophante, un mathématicien grec. Les équations qui portent noms sont des équations algébriques dont les racines sont entières. Par exemple x-1 = 0 a pour solution x 1. Le théorème de Fermat en est un autre exemple : il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que xn + yn = zn, si n> 2.

Pas de solution pour ce problème posé par HILBERT. En 1970, Matiassevitch a montré qu’un tel algorithme ne peut pas être écrit.

Petite histoire des mathématiques

Pour le futur

La plupart des problèmes d’HILBERT résiste donc toujours. Ils ouvrent souvent des portes sur des problèmes encore plus complexes, des souterrains encore plus sombres, plus profonds, plus ramifiés, laissant augurer du travail pour mille ans encore…

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Frise chronologique des mathématiques

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  1. […] ARTICLE DE FOND : Brève histoire des mathématiques. […]

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  8. […] 3) Les calculus de Newton (qu’il doit à Fermat, voire à Archimède) […]

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Histoire des mathématiques, Mathématiques

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