Afficher l'image d'origineHilbert est surtout connu pour sa publication en 1900 de sa liste de problèmes à résoudre pour « achever » les mathématiques.  Depuis, on sait que les mathématiques ne seront jamais achevés (théorème d’incomplétude de Gödel). Il a travaillé également sur l’infini et nous a laissé, sur ce sujet, de savoureux paradoxes.

Il a supposé l’existence d’un hôtel disposant d’une infinité de chambres, qui peuvent être numérotées de 0 à l’infini selon la suite des nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4, …n ,… L’hôtel est complet.

Se présente alors à l’accueil un monsieur embêté qui cherche à se loger pour la nuit. Après quelques réflexions, le patron proposé de décaler tous les clients de l’hôtel d’une chambre. Le client 1 (de la chambre 1) prend la 2, le client 2 (de la chambre 2) prend la 3, le client n (de la chambre n) prend la n+1,… La chambre 0 est ainsi libérée et tout le monde dormira à l’abri.

Arrive alors un car qui amène une infinité de touristes. le problème paraît plus ardu. Le patron griffonne sur un papier l’ébauche d’une solution : chaque client occupant une chambre quelconque i doit s’installer dans la chambre 2i : le 2 va dans la 4, le 3 dans la 6, le 4 dans la 8… Toutes les chambres impaires sont donc libérées. Le touriste n du car peut donc s’installer dans la chambre 2 n + 1. (le 1 va dans la 3, le 2 dans la 5, le 3 dans la 7…).

Arrive maintenant une infinité de cars avec une infinité de touristes ! Bon-sang ! Ils se sont tous donnés rendez-vous ! Chaque client i occupant une chambre i doit donc encore se déplacer. Mais comment ? Le patron propose de le réinstaller dans la chambre 2 i +1, libérant ainsi toutes les chambres paires.Ensuite, il demande au touriste i du bus j de se rendre dans la chambre 2i+1(2j+1). On vérifie en effet que chacune de ses cambres porte un numéro pair (multiple de 2) et qu’il n’y aura qu’un seul client par chambre paire. le 1er touriste du car 1 ira dans la chambre 4 x 5 = 20. Le 2ème du 2 ira dans la 8 x 5 = 40…

Donc un hôtel complet mais infini pourra accueillir autant de touristes supplémentaires qu’il veut !

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