En mathématiques, la conjecture de Syracuse fait partie de la liste de ces hypothèses dont on pense qu’elles sont vraies, mais qu’il est impossible de démontrer. Elle est singulière en ce sens qu’elle présente un énoncé qu’un élève de 3ème pourrait comprendre et pourtant, malgré l’accroissement exponentiel de la puissance des ordinateurs, malgré les efforts de milliers de mathématiciens, l’humanité bute sur ce problème qui en ouvre donc un autre : la conjecture de Syracuse pourrait bien rejoindre la longue liste des énoncés indécidables, c’est-à-dire qu’il s’agirait d’un problème insoluble :  Kurt GÖDEL, avec son théorème d’incomplétude, a démontré en effet qu’il existe bel et bien des hypothèses que les mathématiques ne peuvent pas trancher.

La conjecture de Syracuse

L’idée est de partir d’un nombre entier n au hasard.

  • s’il est pair,  on le divise par 2 : le résultat est n/2 ;
  • s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 : le résultat est (n x 3) + 1

Et puis on recommence avec le nombre obtenu.

Si on prend 5, par exemple, on a la séquence suivante : 5 16 8 4 2 1

Si on prend 107, par exemple, on obtient :  107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Si on prend 1001 :  1001 3004 1502 751 2254 1127 3382 1691 5074 2537 7612 3806 1903 5710 2855 8566 4283 12850 6425 19276 9638 4819 14458 7229 21688 10844 5422 2711 8134 4067 12202 6101 18304 9152 4576 2288 1144 572 286 143 430 215 646 323 970 485 1456 728 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

syracuse

Séquence pour 10000001

La conjecture de Syracuse

On remarque qu’à chaque fois, on termine par 4 – 2 – 1. C’est la fin de la séquence car 1 donne 4, puis 2, puis 1 etc…

L’hypothèse se résume donc ainsi :

quelque soit le nombre de départ (entier positif), vous terminez sur la séquence 4 – 2 -1.

A vos crayons donc !

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