Épreuve de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès ou échec.

Par exemple, le jeu de pile ou face entre dans le schéma de Bernoulli. Je jette la pièce, elle tombe sur face (je gagne) ou sur pile (je perds).

Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité de paramètre p (probabilité de succès) :

  • la probabilité du succès (face dans l’exemple) est de p (1/2 dans l’exemple) ;
  • la probabilité d‘échec (pile dans l’exemple) est de 1-p (1/2 dans l’exemple) ;

La loi binomiale

Une loi binomiale est une loi de probabilité d’une variable aléatoire X qui donne le nombre de succès (face dans notre exemple), d’une série d’expériences (2 lancés de pièce).

On peut la représenter avec un arbre de probabilités, tel que ci-dessous : dans cet exemple, on procède à deux expériences (deux lancés de pièce). Un succès (S) est matérialisé par une branche vers le haut et un échec (E) vers le bas.

bin

La probabilité d’avoir deux succès de suite est p × p = p²

La probabilité d’avoir deux échecs de suite est 1-p × 1-p = 1-p²

Coefficient binomial

Le coefficient binomial est le nombre de chemins comportant k succès sur n expériences. On le note (n, k) Dans notre exemple il y a deux chemins comportant un seul succès.

Il y a autant de chemins comportant k succès que de chemins comportant n-k succès :

(n, n-k) = (n, k)

On a aussi

(n, k) + (n, k+1) = (n+1, k+1)

Et la probabilité  d’avoir k succès sur n expériences est de :

P (X=k) = (n, k) pk (1-p)n-k

En effet, prenons un chemin qui comporte k succès. Il comporte également n-k échecs. La probabilité d’un succès est p et celle d’un échec et 1-p. La probabilité d’arriver au bout de ce chemin est donc de pk (1-p)n-k. On sait qu’il y a (n, k) chemins possibles comportant k succès. La probabilité de P(X=k) est donc bien de (n, k) pk (1-p)n-k

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