La loi de densité de probabilité

Toujours mal expliquée, la notion demeure floue dans la tête de nos écoliers. Le terme, il est vrai, ne facilite pas la discussion : La loi de densité de probabilité ! Voici une expression que l’on n’utilise pas tous les jours, bref « qui ne parle pas ».Essayons donc d’être concrets. Prenons un dés à 6 faces et organisons un petit jeu d’argent ! Si le joueur fait :

  • un 6, il gagne 3 € ;
  • un 2 ou un 4, il gagne 1 €
  • un nombre impair, il perd 2 €.

La probabilité de gagner

  • 3 € est donc de 1/6   →   on note P (X=3) = 1/6
  • 1 € est de 2/6   →   P (X=1) = 2/6
  • -2 € (de perdre 2 €) est de 3/6 ou ½   →   P (X=-2) = 3/6

On a défini une variable aléatoire (discrète) sans le savoir. On peut la représenter dans un tableau de valeur

xi 3 1 -2
Variable aléatoire (X = xi) 1/6 2/6 3/6

Nous avions jusqu’à maintenant une variable aléatoire discrète. Elle ne pouvait en effet prendre que quelques valeurs. Par exemple, elle ne pouvait pas prendre la valeur de 18.3. Dans certains cas, une variable aléatoire peut prendre n’importe quelle valeur. Par exemple, la probabilité de durée de fonctionnement avant la première panne d’une voiture fabriquée par Citroën ou Renault. Cette probabilité peut prendre n’importe quelle valeur entre 0 et 1. Cette valeur n’est pas forcément entière : elle peut prendre, par exemple, la valeur de 0.53. Il s’agit d’une variable aléatoire continue.

Calculer la probabilité qu’une voiture fonctionne 3458.999 heures n’a pas de sens (on serait proche de 0). On a donc recours à des intervalles : on préfère calculer la probabilité qu’une voiture fonctionne (par exemple) entre 3000 et 4000 heures sans panne. La fonction qui associe une probabilité à cet intervalle est appelée fonction de densité de probabilité ou fonction de densité.

 

On a finalement P (3000 < X < 4000) = ∫ f(t) dt. C’est-à-dire l’aire sous la courbe.

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