﻿L’équation (ou théorème) de Bernoulli

Grâce au théorème de Bernoulli, nous pouvons calculer facilement les débits de fuites de nos robinets, de nos baignoires, mais aussi de nos réservoirs d’hydrocarbures endommagés par une brèche ! Merci donc à Daniel, l’héritier d’une grande famille de scientifiques.

L’équation (ou théorème) de Bernoulli

Daniel BERNOULLI a considéré la conservation de l’énergie pour une quantité de fluide incompressible circulant dans un tuyau.

Il considère une masse de fluide m qui circule du point 1 au point 2 :

Au point 1, la section du tuyau est de A1. La masse m, qui circule à une vitesse V1, est contenue dans le volume v1 × Δt × A1. Elle subit la pression P1.
Au point 2, la section du tuyau est de A2. La masse m, qui circule à une vitesse V2, est contenue dans le volume v1 × Δt × A1. Elle subit la pression P2.

La différence d’énergie (ΔE) de la masse m de fluide entre les points 1 et 2 set égale à :

la différence d’énergie cinétique ΔEc + (1/2 m v²) + la différence d’énergie potentielle ΔEp (mgΔh) ;
mais aussi égale au travail (W) exercé par la Force F résultant de la pression P (qui varie de P1 à P2) exercée par le fluide sur la section (A1 puis A2).
- F1= P1×A1
- F2 = P2×A2
Donc ΔE = WP ou ΔEc + ΔEp = ΔWP
Soit 1/2 m (v2²-V1²) + mg Δh = P2×A2 × V2 ×ΔT – P1×A1 × V1 ×ΔT (V1 et V2 sont les vitesses des fluides)
On remarque que A2 × V2 ×ΔT est le volume occupé par le fluide en 2 (pareil en 1)
On peut diviser les deux termes par m
1/2 (v2²-V1²) + g Δh = P2 × 1/m (A2 × V2 ×ΔT) – P1× 1/m (A1 × V1 ×ΔT)
1/2 (v2²-V1²) + g Δh = P2 × 1/ρ – P1× 1/ρ, avec ρ : masse volumique
On peut multiplier par ρ des deux côtés
1/2 ρ (v2²-V1²) + ρ g Δh = P2 – P1, ou
1/2 ρ v2² + ρ g h2 + P2 = 1/2 ρ v1² + ρ g h1 + P1 (qui est l’équation de Bernoulli)

1/2 ρ v2² + ρ g h2 + P2 = 1/2 ρ v1² + ρ g h1 + P1
équation de Bernoulli

Si on prend maintenant un réservoir qui fuit avec :

le point 2 qui représente le niveau haut du liquide dans le réservoir
le point 1 qui représente le point où ça fuit (et qui se situe plus bas).

Quel est le débit de la fuite ?

Au point 2, la pression est égale à la pression atmosphérique et la vitesse du fluide V2 est proche de zéro (en tout cas très faible par rapport à la vitesse en 1) ;
Au point 1, la pression est égale à la pression atmosphérique (puisque ça fuit donc P2 = P1 ) et la vitesse du fluide est V2.

L’équation de Bernoulli s’écrit donc