Grâce au théorème de Bernoulli, nous pouvons calculer facilement les débits de fuites de nos robinets, de nos baignoires, mais aussi de nos réservoirs d’hydrocarbures endommagés par une brèche  ! Merci donc à Daniel, l’héritier d’une grande famille de scientifiques.

L’équation (ou théorème) de Bernoulli

Daniel BERNOULLI a considéré la conservation de l’énergie pour une quantité de fluide incompressible circulant dans un tuyau.

Il considère une masse de fluide m qui circule du point 1 au point 2  :

  • Au point 1, la section du tuyau est de A1. La masse m, qui circule à une vitesse V1, est contenue dans le volume v1 × Δt × A1. Elle subit la pression P1.
  • Au point 2, la section du tuyau est de A2. La masse m, qui circule à une vitesse V2, est contenue dans le volume v1 × Δt × A1. Elle subit la pression P2.

bernoulli

La différence d’énergie (ΔE) de la masse m de fluide entre les points 1 et 2 set égale à :

  • la différence d’énergie cinétique ΔEc + (1/2 m v²) + la différence d’énergie potentielle ΔEp  (mgΔh) ;
  • mais aussi égale au travail (W) exercé par la Force F résultant de la pression P (qui varie de P1 à P2) exercée par le fluide sur la section (A1 puis A2).
    • F1= P1×A1
    • F2 = P2×A2
  • Donc  ΔE = WP ou ΔEc +  ΔEp  = ΔWP
  • Soit 1/2 m (v2²-V1²) + mg Δh = P2×A2 × V2 ×ΔT – P1×A1 × V1 ×ΔT (V1 et V2 sont les vitesses des fluides)
  • On remarque que A2 × V2 ×ΔT est le volume occupé par le fluide en 2 (pareil en 1)
  • On peut diviser les deux termes par m
  • 1/2 (v2²-V1²) + g Δh = P2 × 1/m (A2 × V2 ×ΔT) – P1× 1/m (A1 × V1 ×ΔT)
  • 1/2 (v2²-V1²) + g Δh = P2 × 1/ρ – P1× 1/ρ, avec ρ : masse volumique
  • On peut multiplier par ρ des deux côtés
  • 1/2 ρ (v2²-V1²) + ρ g Δh = P2 – P1, ou
  • 1/2 ρ v2² + ρ g h2 + P2  = 1/2 ρ v1² + ρ g h1 + P1 (qui est l’équation de Bernoulli)

1/2 ρ v2² + ρ g h2 + P2  = 1/2 ρ v1² + ρ g h1 + P1

équation de Bernoulli

Si on prend maintenant un réservoir qui fuit avec :

  • le point 2 qui représente le niveau haut du liquide dans le réservoir
  • le point 1 qui représente le point où ça fuit (et qui se situe plus bas).

bernoulli2.jpg

Quel est le débit de la fuite ?

  • Au point 2, la pression est égale à la pression atmosphérique et la vitesse du fluide V2 est proche de zéro (en tout cas très faible par rapport à la vitesse en 1) ;
  • Au point 1, la pression est égale à la pression atmosphérique (puisque ça fuit donc P2 = P1 ) et la vitesse du fluide est V2.

L’équation de Bernoulli s’écrit donc

  • 1/2 ρ v2² + ρ g h2 + P2  = 1/2 ρ v1² + ρ g h1 + P1
  • ρ g h2   = 1/2 ρ v1² + ρ g h1
  • g h2   = 1/2  v1² +  g h1
  • et donc V1 = √ (2 g Δ h)

Si la brèche a une section de S cm², alors le débit de fuite Q est de :

Q = S ×V1 = S × √ (2 g Δ h)

Le débit ne dépend donc que de la hauteur du fluide dans le réservoir et de la section de la brèche.

 

 

 

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Physique