Mathématiques Physique

J’ai lu pour vous Théorème vivant de Cédric Villani

Cédric Villani nous explique, dans le Théorème vivant, la genèse de la démonstration de la conjecture de Landa u.

Cédric Villani a reçu la médaille Fields pour ses preuves de l’amortissement de Landau non-linéaire et de la convergence vers l’équilibre dans l’équation de Boltzmann.

Voilà qui ne facilite pas la conversation : comment le dire plus simplement ? Tout commence avec une nouvelle discipline : la thermodynamique, l’étude de la relation entre la chaleur et le mouvement. Les gaz sont alors mis en équation, la pression dans un ballon devenant la somme des chocs des particules sur ses parois. La machine à vapeur était alors expliquée ! En 1872, Ludwig Boltzmann (un grand parmi les grand) étudia un des aspects de la thermodynamique : Que se passe-t-il lorsqu’on laisse le gaz s’échapper du ballon ? Il se dégonfle bien sûr ! Et l’air (les molécules d’oxygène et d’azote) qu’il contenait se répand dans la pièce. Grâce à son équation, Boltzmann évalua la probabilité qu’une molécule se trouvât à tel endroit de la pièce, avec une certaine vitesse et à un instant précis ! Notons qu’à cette époque, l’existence des atomes et des molécules étaient encore largement discutées par la communauté scientifique ce qui confirme la gandeur de Boltzmann.

Newton, depuis le siècle précédent, avait montré que deux masses interagissent entre elles, en s’attirant mutuellement (comme la terre et la lune). Les molécules sont des masses (faibles) qui s’attirent, s’entrechoquent comme des boules de billard. Ça marche dans un sens : les deux boules se rapprochent et ça marche dans l’autre : les deux boules s’éloignent. Si on filme la scène et que l’on projette le résultat sur un écran, on ne peut pas dire si le film est à l’endroit ou à l’envers. En théorie, le gaz pourrait donc faire demi-tour et retourner dans le ballon. Pourtant, on n’a jamais rien vu de tel ! Et justement, l’équation de Boltzmann explique pourquoi : elle décrit l’expansion du gaz comme ne pouvant se faire que dans un seul sens (on dit aussi que la flèche du temps ne peut être inversée) !  Le gaz ne peut effectuer son parcours que dans un seul sens : il passe d’un état ordonné (enfermé dans son ballon où l’entropie est faible) vers un état désordonné (dilué dans la pièce où l’entropie est élevée). Le deuxième principe de la thermodynamique est vérifié. Mais ce fut là que Landau (1946) intervint un peu provoquant :

Dans certaines circonstances, un phénomène peut converger vers l’équilibre sans augmenter l’entropie. Lev Landau

Voilà qui était a priori choquant puisque contredisant Boltzmann ! Landau toutefois limitait son affirmation aux plasmas : une purée d’atomes débarrassés de leurs électrons. Les atomes (devenus ions) sont alors chargés électriquement (un atome est habituellement neutre : il a autant de charges positives (les protons) que de charges négatives (les électrons)). Le mouvement des ions créée un champ électrique. Les ions agissent les uns sur les autres sans se toucher (contrairement aux gaz étudiés par Boltzmann). Du coup, l’équation de Boltzmann ne fonctionne plus et il faut la remplacer par celle de de Vlasov-Poisson. Et cette dernière (oh surprise !) est réversible : le plasma, en théorie, pourrait retourner dans le ballon ! Bref, le plasma tend vers un état d’équilibre sans augmentation d’entropie, ce qui contredit le deuxième principe de la thermodynamique. Landau ne démontra pas complètement sa théorie qui resta sous le statut de conjecture de Landau pour l’équation de Vlasov-Poisson non linéaire. Le mérite en revint à Cédric Villani.

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