Euler et les nombres premiers

Les nombres premiers semblent distribués au hasard dans la longue liste des entiers naturels. Personne n’a trouvé de formule magique donnant à coup sûr le prochain nombre premier. On a certes dernièrement trouvé un nombre premiers à plusieurs millions de chiffres, mais c’est en utilisant la puissance de calcul des ordinateurs (et la recette proposée par Mersenne et le test de primalité de Fermat) que nous y sommes parvenus. Euler (le plus grand) disait d’ailleurs :

Les mathématiciens ont cherché en vain, jusqu’à ce jour, un quelconque ordre dans la séquence des nombres premiers et nous avons de bonne raison de penser que le mystère restera hors de portée de l’esprit humain. Euler.

Article de fond : brève histoire des mathématiques

Pourtant ce même Euler a trouvé une relation entre les entiers naturels et ces nombres premiers  !

Euler en a apporté une démonstration en 1737 dans «Variae observationes circa series infinitas»

Pour cela, il a posé la série (1) suivante :

$\displaystyle x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots\;, $
Il a ensuite divisée cette série par 2 et obtenue la série (2) suivante :
$\displaystyle \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\;, $

Puis il a soustrait de la série (1) la série (2) et obtenu la série (3) suivante :

$\displaystyle \frac{1}{2}x=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\;, $
Forcément, les dénominateurs de droite sont impairs. Puis il a divisé par trois des deux côtés et obtenu la série (4) suivante :
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} x= \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}+ \frac{1}{21}+\cdots\;; $
Euler a réalisé encore une soustraction : série (3) – série (4) et obtenu la série (5) suivante :
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} x = 1+\frac{1}{5}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots\;, $
Forcément, les dénominateurs de droite sont impairs et ne sont pas divisibles par 3. Puis il a divisé par 5 des deux côtés et obtenu la série (6) suivante :
$\displaystyle \frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}\cdot\frac{1}{5} x = \frac{1}{5}+\frac{1}{25}+ \frac{1}{35}+\cdots $
Euler a réalisé encore une soustraction : série (5) – série (6) et obtenu la série (7) suivante :
$\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 5} x =1+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots\;. $
Euler a répété l’opération en divisant à chaque fois par le nombre premier suivant. En se rappelant la forme de a série x de départ  :
$\displaystyle x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots\;, $
Il a obtenu l’égalité suivante :
$\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\fr... ...dots}{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot 12\cdot 16\cdot 18\cdot 22\cdots}\;, $
Et c’est là que ça devient intéressant puisque :
  • à gauche, nous avons une série qui fait intervenir l’ensemble des nombres entiers naturels ;
  • à droite, l’ensemble des nombres premiers au numérateur et ces mêmes nombres premiers – 1 au dénominateur.

La relation est établie entre les nombres premiers et les entiers !

 

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