Mathématiques nombres premiers

Une infinité de nombres premiers : une démonstration poétique

Cette démonstration suppose connue la notion de nombre premier (sinon cliquez ici) et d’infini (sinon cliquez ici).

Il y a 2300 ans, Euclide, le plus grand mathématicien de son temps, terminait au pied d’un olivier ses Éléments, regroupant ainsi, dans les milliers de pages de son énorme ouvrage, l’ensemble des connaissances du monde Hellène. Euclide nageait dans l’océan des nombres et portait une attention particulière aux nombres premiers, une série étrange, qui ne respectait aucun code, irrégulière, incontrôlable, qu’il ne parvenait à enfermer dans aucune formule : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… Plus la série avançait, plus la densité de nombres premiers diminuait… Combien y en avait-il ? Peut-être des milliers, des millions ou même une infinité ? Comment savoir, il était impossible d’explorer les confins de l’univers des nombres. Alors ?

Euclide supposa qu’au-delà d’un certain seuil très élevé (certes, mais fini), il n’y avait plus d’autres nombres premiers. Il y avait donc, selon cette hypothèse, un nombre fini de nombres premiers. Il mit tous les nombres premiers dans un sac : le sac de tous les nombres premiers. En dehors de ce sac, tout nombre, même le plus récalcitrant, trouvait dans cet ensemble gigantesque son diviseur. Puis Euclide construisit un nombre nouveau : le résultat de la multiplication de tous ces nombres premiers auquel il ajouta 1. Ce nombre titanesque était supérieur à tous les nombres premiers figurant dans son sac. De deux choses l’une :

  • soit ce titan était premier et alors il venait de trouver un nombre qui n’était pas dans son sac et qui pourtant était premier : un tel ensemble fini de nombres premiers ne pouvait donc pas exister et il existait bien une infinité de nombres premiers ;
  • soit ce titan n’était pas premier. S’il n’était pas premier, il avait un diviseur premier dans le sac d’Euclide. Euclide pouvait donc diviser le titan par son diviseur. Mais i obtint un reste ! Car ainsi Titan avait été ainsi construit : il était le résultat de la multiplication des nombres premiers + 1 ! Donc, titan n’avait pas de diviseur premier dans le sac. Il était donc premier !

Dans les deux cas Euclide venait de trouver un nombre premier qui n’était pas dans son sac. Il pouvait le mettre à son tour dans son sac ! Mais, avec un raisonnement similaire, il trouva un autre Tian et ainsi de suite. Impossible de refermer le sac.

Il venait de démontrer l’infinité des nombres premiers.

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