Histoire des mathématiques

Démonstration géométrique de la quadrature du cercle

Comment avec une règle et un compas tracer un carré dont la surface est exactement celle d’un cercle ?

Prenons un cercle de centre O et de rayon 1. Sa surface est donc de Π x R² = ∏. Il faut donc trouver un carré dont le côté serait égal à √  ∏ et le tour serait joué !

Faisons tourner notre cercle sur un plancher (symbolisé sur le schéma par la droite AB). Le cercle fait un demi tour. Donc AB décrit le demi périmètre du cercle (∏R)  et sa longueur est égal à ∏. Ajoutons le rayon du cercle (1) à ce segment de droite pour obtenir AD = AB + 1 =  ∏ +1.

quadrature1

Avec Pythagore, on a

  • 1 + BC² = CD²
  • ∏² + BC² = AC²

si on additionne les deux équations, on obtient :

  • 1 + 2BC² + ∏² = CD² +  AC²
  • 1 + 2BC² + ∏² = (AB+1)²
  • 1 + 2BC² + ∏² = (AB+1)²
  • 1 + 2BC² + ∏² = (Π+1)²
  • 1 + 2BC² + ∏²= Π²+2Π + 1
  • 2BC² = 2Π
  • BC = √Π

Donc BC est égal à √Π. Le carré que l’on peut tracer (en hachure sur le schéma) a comme surface Π. Exactement la surface du cercle de départ. On a donc bien obtenu un carré dont la surface est égale à celle du cercle et nous avons donc résolu la quadrature du cercle !

 

 

 

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