Mathématiques nombres premiers

La conjecture de GOLDBACH

La conjecture de Goldbach  peut vous rapporter 1 million de dollars (si vous la résolvez bien, sûr) ! C’est la récompense promise par la fondation Clay en 2000. Elle fait partie des des nombreux problèmes mathématiques non-résolus  énoncés par David Hilbert en 1900. Si certaines énigmes sont tombées (théorème de Fermat par exemple démontré par Wiles), la conjecture de Golbach résiste à tous les assauts. Même le grand Euler n’a rien pu faire contre ce mystère que lui avait adressé son ami Goldbach en 1742 dans une lettre restée célèbre.

Tout nombre pair peut être écrit comme somme de deux nombres premiers. Conjecture forte de Goldbach

 

Il existe une version » faible » de la conjecture qui dit

Tout nombre entier impair peut s’écrire comme la somme de trois nombres premiers. Conjecture faible de Goldbach

Rien de plus simple à énoncer. 12 mots seulement, un énoncé clair qu’un écolier pourrait comprendre : 8 par exemple égale 5+3. Et 12 = 9 +3. Et 44 = 31 + 13, etc… On a vérifié à la main, puis avec les plus puissants ordinateurs. La conjecture semble vraie jusqu’à des chiffres astronomiques (à 4.1018). Mais vérification n’est pas démonstration. Qui nous dit qu’au-delà de ce nombre gigantesque, un nombre encore bine plus grand ne vérifierait pas la conjecture de Goldbach ? Rien. Pour la conjecture faible (179 = 19 + 71 + 89), c’est pareil !

La conjecture de Goldbach résolue ?

Parmi ceux qui se sont cassés les dents se trouve Lev Schnirelmann. En 1931, ce mathématicien russe (oui plutôt soviétique) a malgré tout avancé vers la solution en démontrant le théorème suivant :

Il existe un nombre N tel que tout nombre plus grand que 2 est somme d’au plus N nombres premiers. Lev Schnirelmann.

Il suffirait donc de déterminer la valeur de N et notamment montrer qu’il est égale à 2 (ou  3) pour toucher au but ! En 2012, Terence Tao un australien précoce médaillé Fields montra que N < 6, ce qui revenait à dire que :

Tout nombre impair peut être écrit comme la somme d’au plus cinq nombres premiers Terence Tao.

Olivier Ramaré (de l’université de Lille) avait montré, 20 ans avant Tao, le même résultat, mais avec 6 nombres premiers. Récemment, il a eu des propos peu rassurants quant à la résolution définitive de la conjecture de Goldbach :

Avec la méthode que j’ai utilisée, et que Tao a poursuivi, nous savons que nous ne pourrons pas aller jusqu’à la démonstration finale. Il y a un obstacle théorique. On a même du mal à s’approcher d’une méthode différente permettant d’aborder cette ultime question. Peut-être qu’on ne verra pas la démonstration avant mille ans ! Olivier Ramaré.

Rendez-vous donc dans 1000 ans.

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