Brève histoire du nombre d’or

Tous les bons photographes, les maîtres du dessin, les grands architectes le connaissent. φ est le nombre d’or. C’est lui qui vous indiquera où positionner l’horizon sur votre prochain coucher de soleil (si vous cherchez un cliché soit harmonieux).

φ est le nombre d’or, mais il est aussi d’essence divine. Dieu, comme nous allons le voir, en a abusé pour dessiner la nature : les galaxies spirales, les dépressions atmosphériques, la courbe d’une fougère, la coquille des escargots, les cristaux, le dessin des graines de tournesol, le corps humain…

Pourquoi est-il le nombre d’or ? Lui et pas un autre. Pourquoi vaut-il 1,6180339887…. ? Pourquoi confère t-il de l’harmonie aux grandes œuvres, telles que les pyramides (2600 av JC), le temple de Salomon, le Parthénon, la Joconde ?

Les grands mathématiciens se sont penchés sur la question

Comme souvent tout a commencé avec Euclide, au IIIème siècle avant Jésus-Christ. Il donna, dans le livre VI de sa bible de l’arithmétique (Les Éléments), une définition de ce que l’on appela ensuite “la divine proportion” :

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. Euclide, Éléments , livre VI

Pour comprendre Euclide, un dessin est nécessaire

On trace un segment de droite de longueur L. On le coupe en deux, de telle sorte que A+B = L

Selon Euclide, pour atteindre la perfection, il faut que L divisé par A égale A divisé par B ou L/A = A/B. On a aussi B = L-A. Donc :

L/A = A/B  (d’après Euclide)

Si on remplace B par L-A, on obtient :

L/A = A/(L-A) ou

L × (L-A) = A² et finalement

L² – L×A – A² = 0.

Si on divise par A², on obtient

L²/A² –  L/A – 1 = 0

et si on pose φ = L/A (la proportion entre L et A), on a finalement :

φ² – φ -1 = 0

On est face à une équation du second degré (résolue en fin d’article). Elle donne la valeur de φ = 1/2 (1 + √ 5). φ est le nombre d’or selon Euclide.

φ = 1/2 (1 + √ 5)

Il est égal à 1,6180339887… Mais il a d’étranges propriétés :

• φ = 1+1/φ
• φ = 1+ φ²
• φ² = 1/φ
• et plein d’autres choses.

Il est aussi irrationnel (voir la démonstration en fin d’article), c’est-à-dire qu’il ne peut pas se mettre sous la forme d’un rapport de deux entiers a/b.

Les spirales d’or (dont celle de la Joconde) – La suite de Fibonacci

Fibonacci, un des premiers mathématiciens occidentaux, est à l’origine d’une suite de nombres entiers qui porte toujours son nom.  Cette suite est construite de la manière suivante : on part de 0, 1. Le nombre suivant prend la valeur de la somme des deux précédents, soient 0 + 1 = 1. La suite comprend maintenant 0, 1 et 1. On recommence, le 4ème nombre est la somme des deux précédents, soit : 1 + 1 = 2 ; le 5ème, 2+1 =3 ; le 6ème, 3 + 2 = 5 etc ;

La suite devient 0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89, etc…

Si l’on étudie le rapport de deux nombres successifs : 13/8, puis 21/13, puis 34/21… On se rend compte que l’on tend vers une valeur précise : le nombre d’or !

Imagions maintenant que l’on construise des carrés successifs dont la longueur des côtés  prend les valeurs de la suite de Fibonacci, et que l’on trace une spirale qui épouse ces carrés. On obtient le schéma ci-dessous :

Plus les carrés sont grands, plus le rapport entre les côtés des carrés tend vers le nombre d’or. Cette spirale magique (ou spirale d’or) est partout présente autour de nous : là où on ne l’attend pas, dans les choux fleurs, les tournesols, les galaxies…

Dieu est bien mathématicien…

• 

• 

• 

---

Irrationalité de φ

Il n’existe aucun couple d’entiers p et q tels que φ = p/q. φ est donc irrationnel. Pour montrer qu’il est irrationnel, on raisonne bien entendu par l’absurde.

Hypothèse : On suppose que le nombre d’or φ est rationnel ; on peut donc trouver deux entiers premiers entre-eux, tels que φ = a/b.

Introduisons un troisième entier c, tel que  c = 2a-b. Cherchons un diviseur q commun à c et à b.

• q divise c. Il divise donc 2a-b.

• q divise b. Il doit donc aussi diviser 2a. Puisque a et b sont premiers entre eux, le seul q capable de diviser 2a et b est 1 ou 2.

Les seuls diviseurs communs de c et de b sont donc 1 et 2

φ = (√5+1)/2 = a/b. On peut alors écrire

• ou √5 = (2a-b)/b = c/b
• ou 5b²=c²

On remarque alors que c² est divisible par 5, donc c aussi.  Il peut s’écrire c = 5d.

On a alors:

• 5b²=(5d)² = 25 d²
• ou b²=5 d²

On remarque alors que b² est un multiple de 5, donc b aussi.

b et c sont donc divisibles par 5, ce qui est contraire à notre hypothèse en rouge ci-avant. Donc  φ ne peut pas s’écrire sous la forme a/b. Il est donc irrationnel.

---

Résolution de l’équation du second degré qui donne le nombre d’or

• φ² – φ – 1 = 0
• Δ = b²-4ac
• Δ = (-1)² – 4(1)(-1)
• Δ = 5

Δ > 0, on a donc 2 racines qui sont :

• x₁ = (-b- √Δ) / 2a    et     x₂ = (-b+√Δ) / 2a
  x1 = (1-√5) / 2               x₂ = (1+√5) / 2

X2 est la solution positive : c’est le nombre d’or.

---

Retrouvons la suite de Fibonacci

On a vu que φ² = φ + 1

• φ3 = φ² x φ
• = (φ+1) φ
• = φ² + φ
• = φ + 1 + φ
• = 2φ + 1

De la même manière on trouve

• φ3 = 2 φ + 1
• φ4 = 3φ + 2
• φ5 = 5φ + 3

Donc

• φ5 = φ4 + φ3

ou si on généralise

• φn = φ(n-1) + φ (n-2)
• c’est-à-dire Un = Un-1 + Un-2

qui est la suite de Fibonacci 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; 610 ; 987 ; 1 597 ; 2 597 ; 2 584 ; 4 181 ; 6 765 ; etc